Question

△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線l經(jīng)過點C，BD⊥l，AE⊥l，垂足分別為D、E．
（1）當(dāng)A、B在直線l同側(cè)時，如圖1，
①證明：△AEC≌△CDB；
②若AE=4，BD=6，計算△ACB的面積．
（2）當(dāng)A、B在直線l兩側(cè)時，如圖2，若AE=a，BD=b，（b＞a），直接寫出梯形ADBE的面積

是

1

2

b²-

1

2

a²

．

Answer 1

分析：（1）①求出∠BDC=∠ACB=∠AEC=90°，推出∠DBC=∠ACE，根據(jù)AAS推出△AEC≌△CDB即可；
②根據(jù)全等三角形性質(zhì)推出BD=CE=6，在Rt△AEC中，AE=4，由勾股定理求出AC、BC，根據(jù)三角形面積根式求出即可．
（2）求出∠BDC=∠ACB=∠AEC=90°，推出∠DBC=∠ACE，根據(jù)AAS推出△AEC≌△CDB，推出AE=CD=a，BD=CE=b，得出S_{四邊形ADBE}=S_△AED+S_△BDE=

1

2

×DE×AE+

1

2

×DE×BD，代入求出即可．

解答：（1）①證明：∵BD⊥l，AE⊥l，∠ACB=90°，
∴∠BDC=∠ACB=∠AEC=90°，
∴∠DBC+∠DCB=90°，∠DCB+∠ACE=90°，
∴∠DBC=∠ACE，
在△AEC和△CDB中，

∠ACE=∠CBD ∠AEC=∠CDB AC=BC

，
∴△AEC≌△CDB（AAS）．

②解：∵△AEC≌△CDB，
∴BD=CE=6，
∴在Rt△AEC中，AE=4，由勾股定理得：AC=

42+62

=2

15

，
∴BC=AC=2

15

，
∴△ACB的面積
是

1

2

×AC×BC=

1

2

×2

15

×2

15

=30．

（2）解：梯形ADBE的面積是

1

2

b²-

1

2

a²，
理由是：∵BD⊥l，AE⊥l，∠ACB=90°，
∴∠BDC=∠ACB=∠AEC=90°，
∴∠DBC+∠DCB=90°，∠ACE+∠DCB=90°，
∴∠DBC=∠ACE，
在△AEC和△CDB中，

∠ACE=∠CBD ∠AEC=∠CDB AC=BC

，
∴△AEC≌△CDB（AAS），
∴AE=CD=a，BD=CE=b，
∴S_{四邊形ADBE}=S_△AED+S_△BDE=

1

2

×DE×AE+

1

2

×DE×BD
=

1

2

•（b-a）•a+

1

2

•（b-a）•b
=

1

2

b²-

1

2

a²，
故答案為：是

1

2

b²-

1

2

a²．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，三角形面積的應(yīng)用，關(guān)鍵是推出△AEC≌△CDB．