Question

如圖①，平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，4），將矩形OABC繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到矩形AFED，直線(xiàn)y=kx+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)G（4，0），交y軸于點(diǎn)H．

（1）點(diǎn)D、E的坐標(biāo)分別為　　．

（2）當(dāng)直線(xiàn)GH經(jīng)過(guò)EF中點(diǎn)K時(shí)，如圖②，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿著折線(xiàn)C﹣B﹣D以每秒1個(gè)單位速度向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，連結(jié)PH、PG，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒），△PGH的面積為S（平方單位）．

①求直線(xiàn)GH所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式．

②求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

（3）當(dāng)直線(xiàn)GH經(jīng)過(guò)點(diǎn)E時(shí)，如圖③，點(diǎn)Q是射線(xiàn)B﹣D﹣E﹣F上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥GH于點(diǎn)M，作QN⊥x軸于點(diǎn)N，當(dāng)△QMN為等腰三角形時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【考點(diǎn)】四邊形綜合題．

【分析】（1）由矩形的性質(zhì)和選轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可，

（2）利用待定系數(shù)法求出GH的解析式，三角形的面積等于另幾個(gè)三角形的面積的和或差計(jì)算；

（3）根據(jù)運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)和圖形的性質(zhì)，確定出點(diǎn)Q，N，M的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出對(duì)應(yīng)相等，△QMN為等腰三角形，分三種情況建立方程求解，即可．

【解答】（1）解：∵矩形OABC繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到矩形AFED，且B（2，4），

∴OA=AD=2，OC=AF=4，

∴D（2，2），E（6，2）；

故答案為D（2，2），E（6，2）；

（2）①解：∵E（6，2），G（4，0），

∴K（6，1），

∵直線(xiàn)y=kx+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)G，K，

∴，

∴，

∴直線(xiàn)GH的解析式為y=x﹣2，

②當(dāng)0≤t≤2時(shí)，延長(zhǎng)CB交HG于W，如圖1，

S_△PHG=S_△SHW﹣S_△HCP﹣S_△PGW= [[6×12﹣6t﹣4（12﹣t）]=﹣t+12，

②當(dāng)2＜t≤4時(shí)，延長(zhǎng)BA交HG于T，如圖2，

S_△PHG=S_△PTH+S_△PGT=×4（7﹣t）=﹣2t+14，

（3）解；①當(dāng)0≤t≤2時(shí)，如圖3，

由題意，得N（2，0），Q（2，4﹣t），M（，），

∴QN²=（4﹣t）²，MN²=+，QM²=，

（Ⅰ）、當(dāng)QN=QM時(shí)，即QN²=QM²，

∴（4﹣t）²=+，

∴t=（舍），

（Ⅱ）、當(dāng)QN=QM時(shí)，方法同（Ⅰ）的一樣，得t=（舍），

（Ⅲ）、當(dāng)MN=QM時(shí)，方法同（Ⅰ）的一樣，得到方程無(wú)解，

②當(dāng)2＜t≤6時(shí)，

由題意，得N（t，0），Q（t，2），M（，），

方法和①（Ⅰ）一樣，分三種情況，

（Ⅰ）、當(dāng)QN=QM時(shí)，t=6+2（舍），或t=6﹣2∴Q（6﹣2，2）；

（Ⅱ）、當(dāng)QN=MN時(shí)，t=﹣8（舍）或t=2，∴Q（2，2）；

（Ⅲ）、當(dāng)QM=MN時(shí)，t=4，∴Q（4，2）；

②當(dāng)6＜t≤8時(shí)，

由題意，得N（6，0），Q（6，8﹣t），M（，﹣），

方法和①（Ⅰ）一樣，分三種情況，

（Ⅰ）、當(dāng)QN=QM時(shí)，t=10+2（舍），或t=10﹣2∴Q（6，2﹣2）；

（Ⅱ）、當(dāng)QN=MN時(shí)，t=6（舍）或t=10（舍）

（Ⅲ）、當(dāng)QM=MN時(shí)，t=8（舍）；

∴Q（6﹣2，2）或Q（2，2）或Q（4，2）或Q（6，2﹣2）；

【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形的綜合題，涉及到兩點(diǎn)間的距離公式，坐標(biāo)系中面積的計(jì)算方法，分段分情況討論，解本題的關(guān)鍵是用t表示出點(diǎn)的坐標(biāo)和分情況，本題的計(jì)算量比較大．