Question

【題目】問題情境：如圖1，AB∥CD，∠A=30°，∠C=40°，求∠AEC的度數(shù).小明的思路是：

（1）初步嘗試：按小明的思路，求得∠AEC的度數(shù)；

（2）問題遷移：如圖2，AB∥CD，點(diǎn)E、F為AB、CD內(nèi)部兩點(diǎn)，問∠A、∠E、∠F和∠D之間有何數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)說明理由；

（3）應(yīng)用拓展：如圖3，AB∥CD，點(diǎn)E、F為AB、CD內(nèi)部兩點(diǎn)，如果∠E+∠EFG=160°，請(qǐng)直接寫出∠B與∠D之問的數(shù)量關(guān)系.

Answer 1

【答案】（1）70° （2）答案見解析 （3）∠B+∠D=160°

【解析】

（1）添加輔助線，轉(zhuǎn)化基本圖形，過E作EM∥AB，利用平行線的性質(zhì)可證得∠A =∠AEM，∠C=∠CEM，再證明∠AEC=∠A+∠C，繼而可解答問題；

（2）添加輔助線，轉(zhuǎn)化兩直線平行的基本圖形，過點(diǎn)E作EM∥AB, 過點(diǎn)F作FN∥AB ，利用平行線的性質(zhì)可證AB∥ME∥FN∥CD， 再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，可證得∠A =∠AEM，∠MEF=∠EFN,∠D=∠DFN，然后將三式相加，可證得結(jié)論；

（3）過點(diǎn)E作EH∥AB，過點(diǎn)F作FM∥AB ，結(jié)合已知可證得AB∥CD∥FM∥EH，利用兩直線平行，同位角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，可證∠B=∠BEH，∠EFM=∠HEF，∠MFD+∠D=180°，再將三個(gè)等式相加，整理可得到∠B+∠D=180°+∠BEF-∠EFD，然后由∠BEF+∠EFG=160° ，可推出∠BEF-∠EFD=-20°，整體代入求出∠B+∠D的值.

（1）如圖，過E作EM∥AB，

∵AB∥CD，∴AB∥ME∥CD，

∴∠A =∠AEM，∠C=∠CEM，

∴∠AEC=∠A+∠C=70°；

（2）∠A+∠EFD =∠AEF+∠D

理由如下：過點(diǎn)E作EM∥AB, 過點(diǎn)F作FN∥AB

∵AB∥CD，∴AB∥ME∥FN∥CD，

∴∠A =∠AEM，∠MEF=∠EFN,∠D=∠DFN，

∴∠A+∠EFD =∠AEF+∠D；

（3）過點(diǎn)E作EH∥AB，過點(diǎn)F作FM∥AB ，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥FM∥EH，

∴∠B=∠BEH，∠EFM=∠HEF，∠MFD+∠D=180°，

∴∠B+∠EFM+∠MFD+∠D=180°+∠BEH+∠HEF，

∴∠B+∠D+∠EFD=180°+∠BEF，

∴∠B+∠D=180°+∠BEF-∠EFD。

∵ ∠BEF+∠EFG=160° ，

∴∠BEF+180°-∠EFD=160°，

∴∠BEF-∠EFD=-20°，

∴∠B+∠D=180°-20°=160°.