Question

如圖，正比例函數(shù)y=2x與反比例函數(shù)y=

k

x

(k＞0)的圖象相交于A、C兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作AD垂直x軸，垂足為D，過點(diǎn)C作CB垂直x軸，垂足為B，連接AB和CD．已知點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2．
（1）求k的值；
（2）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；
（3）P、Q兩點(diǎn)是坐標(biāo)軸上的動(dòng)點(diǎn)（P為正半軸上的點(diǎn)，Q為負(fù)半軸上的點(diǎn)），當(dāng)以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是矩形時(shí)，求P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)A的橫坐標(biāo)代入正比例函數(shù)解析式可得點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式即可求得k的值；
（2）易得四邊形ABCD的對(duì)角線互相平分，那么是平行四邊形；
（3）若以AC為邊得到的矩形，P，Q兩點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上；以AC為對(duì)角線得到的矩形，可以AC為直徑畫一個(gè)圓，看圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)即可．

解答：解：（1）當(dāng)x=2時(shí)，由y=2x得y=4，
∴k=8（4分）

（2）∵A、O、C在一條直線上，A，C在反比例函數(shù)和正比例函數(shù)的交點(diǎn)處，
∴點(diǎn)A和點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)O中心對(duì)稱，
∴AO=OC，BO=OD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形（或者解方程組y=2x和y=

8

x

，求得C點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，-4）也可）（4分）

（3）∵以AC為邊的四邊形是矩形時(shí)，點(diǎn)P、Q分別在x軸和y軸上時(shí)，此時(shí)不可能；
∴只能以AC為矩形的對(duì)角線，此時(shí)P、Q分別在x軸的正、負(fù)半軸上或者在y軸的正、負(fù)半軸上．
而AO=

22+42

=2

5

，
∴以O(shè)為圓心，2

5

為半徑畫圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)．P(2

5

，0)，Q(-2

5

，0)或者P(0，2

5

)，Q(0，-2

5

)．（4分）

點(diǎn)評(píng)：用到的知識(shí)點(diǎn)為：點(diǎn)在函數(shù)解析式上，就適合這個(gè)函數(shù)解析式；正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；直徑所對(duì)的圓周角是90°．