Question

24、如圖，已知：點(diǎn)D是△ABC的邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，且AB=AC，DA=DE，∠BAC=∠ADE=α．
（1）如圖1，當(dāng)α=60°時(shí)，∠BCE=

120°

；
（2）如圖2，當(dāng)α=90°時(shí)，試判斷∠BCE的度數(shù)是否發(fā)生改變，若變化，請(qǐng)指出其變化范圍；若不變化，請(qǐng)求出其值，并給出證明；
（3）如圖3，當(dāng)α=120°時(shí)，則∠BCE=

30°

．

Answer 1

分析：（1）可證明△ABD≌△ACE，∠B=∠ACE=60°，可得到∠BCE的度數(shù)；
（2）過(guò)D作DF⊥BC，交CA延長(zhǎng)線(xiàn)于F，易證：△DCE≌△DAF，得∠BCE=∠DFA=45°；
（3）同理，當(dāng)∠FDA=120°時(shí)，可證：：△DCE≌△DAF，得∠BCE=∠DFA=30°；

解答：解：（1）如圖，且AB=AC，DA=DE，∠BAC=∠ADE=60°
∴△ABC和△ADE是等邊三角形，
∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC=60°，AD=AE，∠BCA=60°，
即，∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴∠B=∠ACE=60°，
∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=120°；

（2）如圖，過(guò)D作DF⊥BC，交CA或延長(zhǎng)線(xiàn)于F，
∵∠BAC=∠FDC=90°，
∴∠ACB=∠DFC=45°，
∴在直角△FDC中：DF=DC，
又∵∠FDA+∠ADC=∠CDE+∠ADC=90°，
∴∠FAD=∠CDE
又∵DA=DE，
∴△FDA≌△CDE，
∴∠DFA=∠DCE，
∴∠DCE=45°；

（3）如圖，同理當(dāng)∠FDC=120°時(shí)，
∵∠ADE=∠BAC=120°，
∴∠FDA+∠ADC=∠CDE+∠ADC，∠ACB=30°，
∴∠FDA=∠CDE，∠DFC=∠ACB=30°，DF=DC，
又AD=DE，
∴△FDA≌△CDE，
∴∠DCE=∠DFA=30°．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，作輔助線(xiàn)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)全等的三角形中解答，是解答本題的關(guān)鍵，注意挖掘本題中的隱含條件，以及知識(shí)點(diǎn)的熟練應(yīng)用．