Question

31、課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：
（1）如圖1，在△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．
小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到E，使得DE=AD，再連接BE（或?qū)ⅰ鰽CD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三邊關(guān)系可得2＜AE＜8，則1＜AD＜4．
[感悟]解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”字樣，可以考慮構(gòu)造以中點為對稱中心的中心對稱圖形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個三角形中．
（2）解決問題：受到（1）的啟發(fā)，請你證明下列命題：如圖2，在△ABC中，D是BC邊上的中點，DE⊥DF，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF．
求證：BE+CF＞EF，若∠A=90°，探索線段BE、CF、EF之間的等量關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）可按閱讀理解中的方法構(gòu)造全等，把CF和BE轉(zhuǎn)移到一個三角形中求解．
（2）由（1）中的全等得到∠C=∠CBG．∵∠ABC+∠C=90°，∴∠EBG=90°，可得三邊之間存在勾股定理關(guān)系．

解答：解：（1）延長FD到G，使得DG=DF，連接BG、EG．（或把△CFD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到△BGD），
∴CF=BGDF=DG，
∵DE⊥DF，
∴EF=EG．
在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．
（2）若∠A=90°，則∠EBC+∠FCB=90°，
由（1）知∠FCD=∠DBG，EF=EG，
∴∠EBC+∠DBG=90°，即∠EBG=90°，
∴在Rt△EBG中，BE²+BG²=EG²，
∴BE²+CF²=EF²．

點評：本題主要考查了條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”字樣，可以考慮構(gòu)造以中點為對稱中心的中心對稱圖形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個三角形中，注意運(yùn)用類比方法構(gòu)造相應(yīng)的全等三角形，難度適中．