Question

【題目】已知：如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且、，點(diǎn)D是第四象限的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作直線軸，垂足為點(diǎn)F，交線段BC于點(diǎn)E

求拋物線的解析式及點(diǎn)A的坐標(biāo)；

當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

在y軸上是否存在P點(diǎn)，使得是以AC為腰的等腰三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y，點(diǎn)A的坐標(biāo)為；（2）點(diǎn)D的坐標(biāo)為；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為，或．

【解析】

由點(diǎn)B，C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式，再利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；

由點(diǎn)B，C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出線段BC所在直線的解析式，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為，點(diǎn)F的坐標(biāo)為，進(jìn)而可得出DE，EF的長，結(jié)合即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結(jié)論；

由點(diǎn)A，C的坐標(biāo)，利用勾股定理可求出AC的長度，分及兩種情況考慮：當(dāng)時(shí)，由AC的長度可得出CP的長度，結(jié)合點(diǎn)C的坐標(biāo)即可得出點(diǎn)，的坐標(biāo)；當(dāng)時(shí)，由等腰三角形的性質(zhì)可得出，結(jié)合點(diǎn)C的坐標(biāo)即可得出點(diǎn)的坐標(biāo)綜上，此題得解．

解：將，代入，得：

，解得：，

拋物線的解析式為．

當(dāng)時(shí)，，

解得：，，

點(diǎn)A的坐標(biāo)為．

設(shè)線段BC所在直線的解析式為，

將，代入，得：

，解得：，

線段BC所在直線的解析式為．

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為，點(diǎn)F的坐標(biāo)為，

，．

，

，

整理，得：，

解得：，舍去，

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為．

點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，

，，

．

是以AC為腰的等腰三角形，

或．

當(dāng)時(shí)，，

又點(diǎn)C的坐標(biāo)為，

點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為；

當(dāng)時(shí)，，

點(diǎn)的坐標(biāo)為．

綜上所述：在y軸上存在P點(diǎn)，使得是以AC為腰的等腰三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，或．