Question

【題目】已知⊙O的半徑為5，點A、B、C都在⊙O上，∠CAB的平分線交⊙O于點D．

（1）如圖1，若BC為⊙O的直徑，AB＝6，求AC和BD的長；

（2）如圖2，若∠CAB＝60°，過圓心O作OE⊥BD于點E，求OE的長．

Answer 1

【答案】（1）AC=8；BD=5；（2）OE=.

【解析】

（1）根據直徑所對的圓周角是直角和勾股定理即可求出AC，再根據同圓中相等的圓周角所對的弧相等，弦也相等，即可得到CD＝BD，從而得到△BDC是等腰直角三角形，即可求出BD.

（2）連接BO，DO，根據角平分線的定義，即可求出∠BAD的度數，再根據同弧所對的圓心角是圓周角的2倍，即可求出∠BOD＝2∠BAD＝60°，從而證出△BOD是等邊三角形，再根據30°所對的直角邊是斜邊的一半和勾股定理即可求出OE的長.

（1）如圖1，∵BC為⊙O的直徑，

∴BC＝10，且∠BAC＝∠BDC＝90°，

則在Rt△ABC中，BC＝10，AB＝6，

∴，

又∵AD是∠CAB的平分線

∴∠CAD＝∠BAD，

∴，

∴CD＝BD，

∴△BDC是等腰直角三角形，

∵BC＝10

∴；

（2）如圖2，連接BO，DO，

∵AD是∠CAB的平分線，∠CAB＝60°，

∴∠BAD＝30°，

∴∠BOD＝2∠BAD＝60°，

又∵OB＝OD，

∴△BOD是等邊三角形，

又∵OE⊥BD，

∴∠BOE＝30°，BE＝BD，

又∵OB＝5，

∴，

∴．