Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC的A、B兩個(gè)頂點(diǎn)在x軸上，頂點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸上．已知|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，△ABC的面積S_△ABC=15，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)．
（1）求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）設(shè)E是y軸右側(cè)拋物線上異于點(diǎn)B的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG垂直于x軸于點(diǎn)G，再過點(diǎn)E作EH垂直于x軸于點(diǎn)H，得到矩形EFGH．則在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)矩形EFGH為正方形時(shí)，求出該正方形的邊長；
（3）在拋物線上是否存在異于B、C的點(diǎn)M，使△MBC中BC邊上的高為？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，
設(shè)OA=m，則OB=OC=5m，AB=6m，
由S_△ABC=AB×OC=15，得×6m×5m=15，解得m=1（舍去負(fù)值），
∴A（-1，0），B（5，0），C（0，-5），
設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x-5），將C點(diǎn)坐標(biāo)代入，得a=1，
∴拋物線解析式為y=（x+1）（x-5），
即y=x²-4x-5；

（2）設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（n，n²-4n-5），拋物線對稱軸為x=2，
由2（n-2）=EF，得2（n-2）=-（n²-4n-5）或2（n-2）=n²-4n-5，
解得n=1±或n=3±，
∵n＞0，
∴n=1+或n=3+，
邊長EF=2（n-2）=2-2或2+2；

（3）存在．
由（1）可知OB=OC=5，
∴△OBC為等腰直角三角形，即B（5，0），C（0，-5），
設(shè)直線BC解析式為y=kx+b，將B與C代入得：，
解得：，
則直線BC解析式為y=x-5，
依題意△MBC中BC邊上的高為，
∴直線y=x+9或直線y=x-19與BC的距離為7，
聯(lián)立，，
解得或，
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，7），（7，16）．
分析：（1）由已知設(shè)OA=m，則OB=OC=5m，AB=6m，由S_△ABC=AB×OC=15，可求m的值，確定A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)，由A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)拋物線交點(diǎn)式，將C點(diǎn)坐標(biāo)代入即可；
（2）設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m²-4m-5），拋物線對稱軸為x=2，根據(jù)2|m-2|=EF，列方程求解；
（3）存在．因?yàn)镺B=OC=5，△OBC為等腰直角三角形，直線BC解析式為y=x-5，則直線y=x+9或直線y=x-19與BC的距離為7，將直線解析式與拋物線解析式聯(lián)立，求M點(diǎn)的坐標(biāo)即可．
點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是采用形數(shù)結(jié)合的方法，準(zhǔn)確地用點(diǎn)的坐標(biāo)表示線段的長，根據(jù)圖形的特點(diǎn)，列方程求解，注意分類討論．