Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，D為BC邊的中點(diǎn)，連接DP．
（1）DP是⊙O的切線；
（2）若cosA=

3

5

，⊙O的半徑為5，求DP的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連接OP和BP，可證出∠BPD=∠PBD，再由OB=OP得出∠OPB=∠OBP，從而得出∠OPD=90°，從而證出DP是⊙O的切線；
（2）連接OD，在Rt△ABC中，可求得AC，再根據(jù)三角形的中位線定理得出OD的長(zhǎng)，則求出DP的長(zhǎng)．

解答：解：（1）證明：連接OP和BP，
∵AB是⊙O的直徑，BC切⊙O于B，
∴∠APB=90°，AB⊥BC，
∴∠ABC=∠ABP+∠PBC=90°
在Rt△BPC中，D為BC邊的中點(diǎn)
∴BD=PD
∴∠BPD=∠PBD
∵OB=OP
∴∠OPB=∠OBP
∴∠OPD=∠OPB+∠BPD=∠OBP+∠PBD=∠ABC=90°
即PD⊥OP
∴DP是⊙O的切線

（2）連接OD
在Rt△ABC中
∵cosA=

3

5

，⊙O的半徑為5
∴AC=

AB

cosA

=

50

3

∵OA=OB，DC=DB
∴OD=

1

2

AC=

25

3

，
在Rt△OPD中，PD=

OD2-OP2

=

( 25 3 )2-52

=

20

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道綜合題，考查了切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理和解直角三角形，熟練掌握切線的判定定理和三角函數(shù)是解此題的關(guān)鍵．