Question

6．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0，4$\sqrt{3}$），B（m，-2$\sqrt{3}$），C（n，-2$\sqrt{3}$），且m，n滿足$\sqrt{m+3n}$+（n-6）²=0，線段BC交y軸于點(diǎn)H．
（1）求B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)P以每秒4$\sqrt{3}$個(gè)單位的速度從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BA方向向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，過(guò)點(diǎn)P作PE∥AC，交BC于點(diǎn)D，連接PH，請(qǐng)直接寫出∠DPH，∠PHA，∠HAC之間的數(shù)量關(guān)系；
（3）在（2）的條件下，若AB=12$\sqrt{3}$，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒3個(gè)單位的速度沿射線CB運(yùn)動(dòng)，連接HP，AQ，是否存在某一時(shí)刻，使得S_△AHP=4S_△AHQ？若存在，請(qǐng)求出t值，并直接寫出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)$\sqrt{m+3n}$+（n-6）²=0，運(yùn)用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，得出m，n的值，即可求得B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)D在線段BH上時(shí)，作HF∥PD，則HF∥AC，求得∠AHP=∠DPH+∠CAH；②當(dāng)D在線段CH上時(shí)，作HF∥PD，則HF∥AC，求得∠AHP=∠CAH-∠DPH；
（3）先過(guò)P作PG⊥AH于G，根據(jù)△APG∽△ABH，求得PG=18-6t，再分兩種情況：①當(dāng)Q在線段CH上時(shí)，②當(dāng)Q在線段BH上時(shí)，分別根據(jù)S_△AHP=4S_△AHQ，求得t的值和點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵$\sqrt{m+3n}$+（n-6）²=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+3n=0}\\{n-6=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-18}\\{n=6}\end{array}\right.$，
∴B（-18，-2$\sqrt{3}$），C（6，-2$\sqrt{3}$）；

（2）∠AHP=∠DPH+∠CAH或∠AHP=∠CAH-∠DPH．
分兩種情況：
①如圖所示，當(dāng)點(diǎn)D在線段BH上時(shí)，作HF∥PD，則HF∥AC，

∴∠DPH=∠FHP，∠CAH=∠FHA，
∵∠AHP=∠FHP+∠FHA，
∴∠AHP=∠DPH+∠CAH；
②如圖所示，當(dāng)D在線段CH上時(shí)，作HF∥PD，則HF∥AC，

∴∠DPH=∠FHP，∠CAH=∠FHA，
∵∠AHP=∠FHA-∠FHP，
∴∠AHP=∠CAH-∠DPH；

（3）由題可得，BP=4$\sqrt{3}$t，AP=12$\sqrt{3}$-4$\sqrt{3}$t，CQ=3t，CH=6，BH=18，
過(guò)P作PG⊥AH于G，而B(niǎo)C⊥AO，
∴PG∥BC，
∴△APG∽△ABH，
∴$\frac{AP}{AB}$=$\frac{PG}{BH}$，即$\frac{12\sqrt{3}-4\sqrt{3}t}{12\sqrt{3}}$=$\frac{PG}{18}$，
∴PG=18-6t，
分兩種情況：
①當(dāng)Q在線段CH上時(shí)，HQ=6-3t，

∵S_△AHP=4S_△AHQ，
∴$\frac{1}{2}$×AH×PG=4×$\frac{1}{2}$×AH×HQ，即PG=4HQ，
∴18-6t=4×（6-3t），
解得t=1，
此時(shí)HQ=6-3=3，
∴Q（3，-2$\sqrt{3}$）；
②當(dāng)Q在線段BH上時(shí)，HQ=3t-6，

∵S_△AHP=4S_△AHQ，
∴$\frac{1}{2}$×AH×PG=4×$\frac{1}{2}$×AH×HQ，即PG=4HQ，
∴18-6t=4×（3t-6），
解得t=$\frac{7}{3}$，
此時(shí)，HQ=7-6=1，
∴Q（-1，-2$\sqrt{3}$），
綜上所述，當(dāng)t=1時(shí)，S_△AHP=4S_△AHQ，Q（3，-2$\sqrt{3}$）；當(dāng)t=$\frac{7}{3}$時(shí)，S_△AHP=4S_△AHQ，Q（-1，-2$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于三角形綜合題，主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角形的面積的綜合應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造平行線，運(yùn)用分類討論思想進(jìn)行計(jì)算求解．