Question

（1997•河南）如圖，a、b、c分別是△ABC中∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，且a、b是關(guān)于x的一元二次方程x²+4（c+2）=（c+4）x的兩個(gè)根．點(diǎn)D在A(yíng)B上，以BD為直徑的⊙O切AC于點(diǎn)E．
（1）判斷△ABC的形狀；
（2）若tanA=

3

4

，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）由a、b是關(guān)于x的一元二次方程x²+4（c+2）=（c+4）x的兩個(gè)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可得a+b=c+4，ab=4（c+2），繼而可得a²+b²=c²，則可判定△ABC是直角三角形．
（2）連接OE，由tanA=

3

4

與a+b=c+4，可求得a，b，c的值，又由平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理，可求得半徑的長(zhǎng)，繼而求得答案．

解答：解：（1）△ABC是直角三角形．
理由：∵a、b是關(guān)于x的一元二次方程x²+4（c+2）=（c+4）x的兩個(gè)根．
∴a+b=c+4，ab=4（c+2），（1分）
∴a²+b²=（a+b）²-2ab
=（c+4）²-8（c+2）
=c²．
∴△ABC是直角三角形．（2分）

（2）∵∠C=90°，
∴tanA=

a

b

=

3

4

，
設(shè)a=3k，則b=4k，從而c=5k（k＞0）．
∵a+b=c+4，
∴3k+4k=5k+4，
解得：k=2．
∴a=6，b=8，c=10．（5分）
連接OE．（6分）
∵AE是切線(xiàn)，
∴OE⊥AE．
又∵BC⊥AC，
∴OE∥BC．（7分）
∴△AOE∽△ABC，
∴

OE

BC

=

OA

AB

，
∴

OE

6

=

10-OE

10

，
解得：OE=

15

4

，
在Rt△AOE中，AE=

OE

tanA

=

15 4

3 4

=5．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的逆定理、根與系數(shù)的關(guān)系以及三角函數(shù)等知識(shí)．此題難度適中，注意掌握輔助線(xiàn)的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．