Question

直線l的解析式為y=

3

4

x+8，與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，P是x軸上一點(diǎn)，以P為圓心的圓與直線l相切于B點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)及⊙P的半徑R；
（2）若⊙P以每秒

10

3

個單位沿x軸向左運(yùn)動，同時⊙P的半徑以每秒

3

2

個單位變小，設(shè)⊙P的運(yùn)動時間為t秒，且⊙P始終與直線l有交點(diǎn)，試求t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意畫出圖形，利用切線的性質(zhì)和勾股定理解答；
（2）根據(jù)變化過程設(shè)出未知量，列不等式計算．

解答：解：（1）如圖所示，設(shè)半徑為r，由于圓與直線l相切于B點(diǎn)，所以根據(jù)勾股定理，OP²=r²-8²，故OP=

r2-82

；根據(jù)射影定理，OB²=OA•OP，即8²=

r2-82

•

32

3

，解得r=10．OP=

102-82

=6．P點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0）．


（2）根據(jù)勾股定理，AB=

82+( 32 3 )2

=

1600

9

，
根據(jù)題意得：（

32

3

+6-

10

3

t）²-（10-

2

3

t）²≤

1600

9

，整理得t²-10t≤0，
解得0秒≤t≤10秒．

點(diǎn)評：此題是一道一次函數(shù)與圓相結(jié)合的動點(diǎn)問題，重在考查分析能力，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．