Question

四邊形一條對角線所在直線上的點，如果到這條對角線的兩端點的距離不相等，但到另一對角線的兩個端點的距離相等，則稱這點為這個四邊形的準等距點．如圖l，點P為四邊形ABCD對角線AC所在直線上的一點，PD=PB，PA≠PC，則點P為四邊形ABCD的準等距點．

(1)如圖2，畫出菱形ABCD的一個準等距點．

(2)如圖3，作出四邊形ABCD的一個準等距點(尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法)．

(3)如圖4，在四邊形ABCD中，P是AC上的點，PA≠PC，延長BP交CD于點E，延長DP交BC于點F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF．求證：點P是四邊形ABCD的準等距點．

(4)試研究四邊形的準等距點個數(shù)的情況(說出相應(yīng)四邊形的特征及準等距點的個數(shù)，不必證明)．

Answer 1

解：(1)如圖2，點P即為所畫點．

      (2)如圖3，點P即為所作點．

      (3)連結(jié)DB，在△DCF與△BCE中，∠DCF=∠BCE，

    ∠CDF=∠CBE，∠ CF=CE.

    ∴△DCF≌△BCE(AAS)，∴CD=CB，

   ∴∠CDB=∠CBD. ∴∠PDB=∠PBD， ∴PD=PB，

    ∵PA≠PC  ∴點P是四邊形ABCD的準等距點．

(4)①當(dāng)四邊形的對角線互相垂直且任何一條對角線不平分另一對角線或者對角線互相平分且不垂直時，準等距點的個數(shù)為0個；

②當(dāng)四邊形的對角線不互相垂直，又不互相平分，且有一條對角線的中垂線經(jīng)過另一對角線的中點時，準等距點的個數(shù)為1個；

③當(dāng)四邊形的對角線既不互相垂直又不互相平分，且任何一條對角線的中垂線都不經(jīng)過另一條對角線的中點時，準等距點的個數(shù)為2個；

④四邊形的對角線互相垂直且至少有一條對角線平分另一對角線時，準等距點有無數(shù)個