Question

如果四邊形一條對(duì)角線(xiàn)所在直線(xiàn)上有一點(diǎn)，它到這條對(duì)角線(xiàn)的兩端點(diǎn)的距離不相等，但到另一對(duì)角線(xiàn)的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，則稱(chēng)這個(gè)點(diǎn)為這個(gè)四邊形的準(zhǔn)等距點(diǎn)．
（1）正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC上有沒(méi)有準(zhǔn)等距點(diǎn)？請(qǐng)簡(jiǎn)單說(shuō)明理由；
（2）請(qǐng)回答長(zhǎng)方形（正方形除外）、菱形、等腰梯形的準(zhǔn)等距點(diǎn)的個(gè)數(shù)（不必證明）；
（3）如圖所示，在四邊形ABCD中，P是AC上的點(diǎn)，PA≠PC，延長(zhǎng)BP交CD于點(diǎn)E，延長(zhǎng)DP交BC于點(diǎn)F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF，證明點(diǎn)P是四邊形ABCD的準(zhǔn)等距點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）如圖1，在對(duì)角線(xiàn)AC上任取一點(diǎn)P，連接PB，PD，根據(jù)正方形的性質(zhì)就可以得出PD=PB，就可以得出結(jié)論；
（2）由矩形的對(duì)角線(xiàn)互相平分但不垂直，就可以得出矩形的準(zhǔn)等距點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0，菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分，可以得出菱形的準(zhǔn)等距點(diǎn)的個(gè)數(shù)是無(wú)數(shù)個(gè)，等腰梯形不垂直又不互相平分，且任何一條對(duì)角線(xiàn)的中垂線(xiàn)都不經(jīng)過(guò)另一條對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)，可以得出等腰梯形的準(zhǔn)等距點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2個(gè)；
（3）根據(jù)條件可以得出△CDF≌△CBE就可以得出BC=DC，進(jìn)而可以得出BF=DE，再證明△EDP≌△FBP就可以得出PD=PB就可以得出結(jié)論．

解答：解：（1）如圖1，在對(duì)角線(xiàn)AC上任取一點(diǎn)P，連接PB，PD．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，AC平分BD，
∴PD=PB．
∴點(diǎn)P是對(duì)角線(xiàn)AC上的準(zhǔn)等距點(diǎn)；

（2）根據(jù)確定準(zhǔn)等距點(diǎn)的方法：可以作出其中一條對(duì)角線(xiàn)的垂直平分線(xiàn)和另一條對(duì)角線(xiàn)所在的直線(xiàn)的交點(diǎn)．主要是根據(jù)兩條對(duì)角線(xiàn)的位置關(guān)系決定．
∵矩形的對(duì)角線(xiàn)互相平分但不垂直，
∴矩形的準(zhǔn)等距點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0，
∵菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分，
∴菱形的準(zhǔn)等距點(diǎn)的個(gè)數(shù)是無(wú)數(shù)個(gè)，
∵等腰梯形不垂直又不互相平分，且任何一條對(duì)角線(xiàn)的中垂線(xiàn)都不經(jīng)過(guò)另一條對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)，
∴等腰梯形的準(zhǔn)等距點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2個(gè)；

（3）在△CDF和△CBE中，

∠BCD=∠BCD ∠CDF=∠CBE CF=CE

，
∴△CDF≌△CBE（AAS），
∴CD=CB．
∵CE=CF，
∴ED=BF．
在△EDP和△FBP中，

∠CDF=∠CBE ∠DPE=∠BPF ED=FB

，
∴△EDP≌△FBP（AAS），
∴PD=PB．
∴點(diǎn)P是四邊形ABCD的準(zhǔn)等距點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)等知識(shí)．此題屬于閱讀性題目，解題的關(guān)鍵是熟悉垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，能夠根據(jù)找準(zhǔn)等距點(diǎn)的方和四邊形中兩條對(duì)角線(xiàn)的位置關(guān)系判斷準(zhǔn)等距點(diǎn)的個(gè)數(shù)及證明一個(gè)點(diǎn)是四邊形的準(zhǔn)等距點(diǎn)．