Question

【題目】如圖，直線AB的解析式為，拋物線與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．

求拋物線的解析式；

如圖，當(dāng)點(diǎn)P在第一象限內(nèi)的拋物線上時(shí)，求面積的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

過點(diǎn)A作直線軸，過點(diǎn)P作于點(diǎn)H，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)H的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在直線AB上，同時(shí)恰好落在坐標(biāo)軸上，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為；（2）當(dāng)時(shí)，面積有最大值，最大值為8，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為；（3）P點(diǎn)坐標(biāo)為或；

【解析】

（1）先利用直線進(jìn)行確定則A（0，4），然后利用待定系數(shù)法求拋物線解析式；

（2）連接OP，設(shè)P（m，-m2+m+4），解方程x+4=0得B（3，0），根據(jù)三角形面積公式，利用面積的和差得到S△ABP=S△AOP+S△POB-S△AOB=4m+3（-m2+m+4）-34，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題；

（3）先利用勾股定理計(jì)算出AB=5，討論：當(dāng)點(diǎn)P′落在x軸上，如圖2，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得P′H′=PH=4-（-m2+m+4）=m2-m，AH′=AH=m，∠P′H′A=∠PHA=90°，再證明△BP′H′∽△BAO，利用相似得到BH′=m2-m，然后利用AH′+BH′=AB得到m+m2-m=5，解方程求出m即可得到P點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)P′落在y軸上，如圖3，同理可得P′H′=PH=m2-m，AH′=AH=m，∠P′H′A=∠PHA=90°，通過證明△AH′P′′∽△AOB，然后利用相似比得到（m2-m）：3=m：4，然后解關(guān)于m的方程即可得到對應(yīng)P點(diǎn)坐標(biāo)．

解：當(dāng)時(shí)，，則，

把，代入得，解得，

拋物線解析式為；

連接OP，設(shè)，

當(dāng)時(shí)，，解得，則，

，

，

當(dāng)時(shí)，面積有最大值，最大值為8，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為；

在中，，

當(dāng)點(diǎn)落在x軸上，如圖2，

繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)H的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在直線AB上，同時(shí)恰好落在x軸上

，，，

，

∽，

：：OB，即：：3，

，

，

，解得，舍去，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為；

當(dāng)點(diǎn)落在y軸上，如圖3，

同理可得，，，

，

∽，

：：AO，即：：4，

整理得，解得，舍去，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為；

綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為或；