Question

（2013•賀州）已知：⊙O的直徑為3，線段AC=4，直線AC和PM分別與⊙O相切于點(diǎn)A，M．
（1）求證：點(diǎn)P是線段AC的中點(diǎn)；
（2）求sin∠PMC的值．

Answer 1

分析：（1）連結(jié)OM，根據(jù)切線的性質(zhì)得OM⊥MP，BA⊥AC，根據(jù)切線長(zhǎng)定理得PM=PA，則∠1+∠2=90°，∠B+∠C=90°，而∠2=∠B，所以∠1=∠C，于是得到PC=PM，則PA=PC；
（2）由于∠PMC=∠C，在Rt△ABC中，先根據(jù)勾股定理計(jì)算出BC=5，然后根據(jù)正弦的定義得到sin∠C=

AB

BC

=

3

5

，于是得到sin∠PMC的值．

解答：（1）證明：連結(jié)OM，如圖，
∵直線AC和PM分別與⊙O相切于點(diǎn)A，M，
∴PM=PA，OM⊥MP，BA⊥AC，
∴∠OMP=90°，∠BAC=90°，
∴∠1+∠2=90°，∠B+∠C=90°，
而∠2=∠B，
∴∠1=∠C，
∴PC=PM，
∴PA=PC，
∴點(diǎn)P是線段AC的中點(diǎn)；

（2）解：由（1）∠PMC=∠C，
在Rt△ABC中，AB=3，AC=4，
∴BC=

AB2+AC2

=5，
∴sin∠C=

AB

BC

=

3

5

，
即sin∠PMC=

3

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑．也考查了切線長(zhǎng)定理、勾股定理以及解直角三角形．