Question

已知一次函數(shù)y₁=x，二次函數(shù)y₂=

1

2

x²+

1

2

（1）根據(jù)表中給出的x的值，填寫表中空白處的值；

（2）觀察上述表格中的數(shù)據(jù)，對于x的同一個值，判斷y₁和y₂的大小關(guān)系．并證明：在實數(shù)范圍內(nèi)，對于x的同一個值，這兩個函數(shù)所對應(yīng)的函數(shù)值y₁和y₂的大小關(guān)系仍然成立；
（3）若把y=x換成與它平行的直線y=x+k（k為任意非零實數(shù)），請進一步探索：當k滿足什么條件時，（2）中的結(jié)論仍然成立？當k滿足什么條件時，（2）中的結(jié)論不能對任意的實數(shù)x都成立？并確定使（2）中的結(jié)論不成立的x的范圍．

Answer 1

分析：（1）把x的值代入二次函數(shù)解析式，可直接求出對應(yīng)的y的值．
（2）通過觀察表中的數(shù)據(jù)，可得，y₁≤y₂，用y₂-y₁所得的式子進行分析，因為等于

1

2

（x-1）²，不論x取何值，都有

1

2

（x-1）²≥0，故有y₂-y₁≥0，即y₂≥y₁．
（3）解兩個函數(shù)解析式組成的方程組，得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)根的判別式進行分析，（△=8k），當k＜0時，一次函數(shù)的圖象在二次函數(shù)的圖象的下方，那么就有y₂≥y₁，而當k＞0，時，二次函數(shù)的圖象有一部分在一次函數(shù)圖象的上方，一部分在下方，故這種情況不能使（2）中的結(jié)論成立．

解答：解：（1）x=-3時，y₂=5；
x=-2時，y₂=

5

2

；
x=2時，y₂=

5

2

；
x=3時，y₂=5．

（2）y₁≤y₂
∵y₂-y₁=（

1

2

x²+

1

2

）-x=

1

2

（x-1）²
又∵x取任意實數(shù)時，都有（x-1）²≥0，
∴y₂≥y₁對任意的實數(shù)x都成立．

（3）由

y=x+k y= 1 2 x2+ 1 2

，
得

1

2

x²+

1

2

=x+k，
即x²-2x+1-2k=0 ①
方程①的判別式△=4-4（1-2k）=8k，（k≠0）
①當k＜0時，方程①無實數(shù)根，
即直線y=x+k與拋物線無交點，且直線在拋物線的下方，此時（2）中的結(jié)論仍然成立．
②當k＞0時，方程①有兩個不相等的實數(shù)根：x₁=1-

2

k，x₂=1+

2k

，
即直線與拋物線有兩個不同的交點，此時拋物線上有一部分點在直線的下方，
所以（2）中的結(jié)論不能對任意的x都成立．
當1-

2

k＜1+

2k

時，（2）中的結(jié)論不成立．

點評：本題利用了任何一個數(shù)的平方都是一個非負數(shù)，解方程組，一元二次方程根的判別式等知識．