Question

將等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE按圖1方式放置，∠A=90°， AD邊與AB邊重合， AB＝2AD＝4．將△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)一個(gè)角度α（0°≤α≤180°），BD的延長(zhǎng)線交直線CE于點(diǎn)P.
（1）如圖2，BD與CE的數(shù)量關(guān)系是        , 位置關(guān)系是         ；
（2）在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)AD⊥BD時(shí)，求出CP的長(zhǎng)；
（3）在此旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng).[

Answer 1

（1）BD=EC，BD⊥CE；（2）；（3）.

試題分析：（1）利用三角形中位線性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)得出即可.
（2）首先得出△ABD≌△ACE（SAS），進(jìn)而求出四邊形ADPE為正方形，即可得出CP的長(zhǎng).
（3）由（2）知，當(dāng)α=60°時(shí)，∠PBA最大，且∠PBA=30°，此時(shí)∠AOP=60°，得出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路線是以O(shè)為圓心，OA長(zhǎng)為半徑的弧長(zhǎng)，進(jìn)而利用弧長(zhǎng)公式求出即可．
試題解析：（1）BD=EC，BD⊥CE．理由如下：
∵等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE按圖1方式放置，∠A=90°， AD邊與AB邊重合， AB=2AD=4，
∴D，E分別是AB和AC的中點(diǎn).
∴BD=EC=AD=AE，BD⊥CE.
（2）如圖3所示：
∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，∴AB=AC，AD=AE.
∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE.
在△ABD和△ACE中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）.∴∠ABD=∠ACE.
∵∠1=∠2，∴BP⊥CE.
∵AD⊥BP，∠DAE=90°，AD=AE，∴四邊形ADPE為正方形．∴AD=PE=2.
∵∠ADB=90°，AD=2，AB=4，∴∠ABD=30°.
∴BD=CE=.
∴CP=CE-PE=.

（3）如圖4，取BC的中點(diǎn)O，連接OP、OA，
∵∠BPC=∠BAC=90°，∴OP=OA=BC=.
在此旋轉(zhuǎn)過(guò)程中（0°≤α≤180°），由（2）知，當(dāng)α=60°時(shí)，∠PBA最大，且∠PBA=30°，此時(shí)∠AOP=60°，
∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路線是以O(shè)為圓心，OA長(zhǎng)為半徑的弧長(zhǎng).
∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)為：