Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線AB與x軸交于點(diǎn)A，與反比例函數(shù)在第三象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)B（-1，n），點(diǎn)C是反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)，CD⊥x軸于點(diǎn)D，連接CA、CO，tan∠COD=cos∠ACD，AC=2.5，AD：CD=3：4．
（1）求該反比例函數(shù)的解析式；
（2）求直線AB的解析式．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)AD：CD=3：4可設(shè)AD=3x，CD=4x，由勾股定理可知AC=5x，再由AC=2.5可求出x的值，進(jìn)而得出CD及AD的長度，再由tan∠COD=cos∠ACD可得出

CD

OD

=

CD

AC

可求出OD得長度，故可得出C點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)的解析式；
（2）先把點(diǎn)B（-1，n）代入（1）中所求反比例函數(shù)解析式可得出n的值，故可得出B點(diǎn)坐標(biāo)，再由（1）中OD及AD的長可得出A點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出直線AB的解析式．

解答：解：（1）∵CD⊥x軸于點(diǎn)D，AD：CD=3：4，
∴設(shè)AD=3x，CD=4x，AC=

CD2+AD2

=

(4x)2+(3x)2

=5x，
∵AC=2.5，
∴5x=2.5，解得x=0.5，
∴AD=3×0.5=1.5，CD=4×0.5=2，
∵tan∠COD=cos∠ACD，
∴

CD

OD

=

CD

AC

，即

2

OD

=

2

2.5

，解得OD=2.5，
∴C（2.5，2），
設(shè)此反比例函數(shù)的解析式為：y=

k

x

，
將C（2.5，2）代入y=

k

x

得，
k=2.5×2=5；
故反比例函數(shù)的解析式為y=

5

x

；

（2）∵點(diǎn)B（-1，n）在反比例函數(shù)y=

5

x

的圖象上，
∴n=

5

-1

=-5，則B點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-5），
由（1）可知，OD=2.5，AD=1.5，故OA=2.5+1.5=4，
則A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），
設(shè)函數(shù)解析式為y=kx+b，將A（4，0），B（-1，-5）分別代入解析式得，

4k+b=0 -k+b=-5

，
解得，

k=1 b=-4

，
函數(shù)解析式為y=x-4．

點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)綜合題，涉及待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式、求一次函數(shù)解析式以及三角函數(shù)的相關(guān)應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，要認(rèn)真解答．