Question

如圖，反比例函數(shù)y=

k

x

在第一象限內(nèi)的圖象上有點A、B，已知點A（3m，m）、點B（n，n+1）（其中m＞0，n＞0），OA=2

10

．
（1）求A、B點的坐標(biāo)及反比例函數(shù)解析式；
（2）如果M為x軸上一點，N為y軸上一點，以A、B、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出符合條件的M、N點的坐標(biāo)，并畫出相應(yīng)的平行四邊形．

Answer 1

分析：（1）先由點A的坐標(biāo)為（3m，m）及OA=2

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，根據(jù)兩點間距離公式列出關(guān)于m的方程，解方程求出m的值，再運用待定系數(shù)法得到k的值，然后將B點坐標(biāo)代入，即可求出n的值；
（2）設(shè)M點坐標(biāo)為（a，0），N點坐標(biāo)為（0，b）．分兩種情況：①當(dāng)M點和A點相鄰時；②當(dāng)M和B點相鄰時．針對每一種情況，都可以根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分的性質(zhì)及中點坐標(biāo)公式求解．

解答：解：（1）∵A（3m，m），OA=2

10

，
∴(3m)2+m2=(2

10

)2，且m＞0．
解得m=2．
∴A的坐標(biāo)為（6，2）．
又∵點A在y=

k

x

的圖象上，
∴k=6×2=12．
∴反比例函數(shù)解析式為y=

12

x

．
∵點B（n，n+1）（其中n＞0）在y=

12

x

的圖象上，
∴n（n+1）=12．
解得n₁=3，n₂=-4（不合題意，舍去）．
∴點的坐標(biāo)為B（3，4）；

（2）設(shè)M點坐標(biāo)為（a，0），N點坐標(biāo)為（0，b），如圖．
分兩種情況：
①當(dāng)M點和A點相鄰時．
∵M(jìn)₁ABN₁是平行四邊形，
∴M₁B與AN₁互相平分，即M₁B的中點與AN₁的中點重合，
∴

a+3

2

=

0+6

2

，

0+4

2

=

b+2

2

，
∴a=3，b=2，
∴M₁（3，0），N₁（0，2）；
②當(dāng)M和B點相鄰時．
∵N₂ABM₂是平行四邊形，
∴M₂A與BN₂互相平分，即M₂A的中點與BN₂的中點重合，
∴

a+6

2

=

0+3

2

，

b+4

2

=

0+2

2

，
∴a=-3，b=-2，
∴M₂（3，0），N₂（0，-2）．
綜上可知，符合條件的M、N點的坐標(biāo)分別為M₁（3，0），N₁（0，2）或M₂（-3，0），N₂（0，-2）．

點評：本題考查了運用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)，兩點間距離公式及中點坐標(biāo)公式，綜合性較強，有一定難度，注意分類討論思想的運用．