Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，ABCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2 ），點(diǎn)B在x軸的正半軸上，點(diǎn)E為線段AD的中點(diǎn)

（1）如圖1，求∠DAO的大小及線段DE的長(zhǎng)；
（2）過(guò)點(diǎn)E的直線l與x軸交于點(diǎn)F，與射線DC交于點(diǎn)G．連接OE，△OEF′是△OEF關(guān)于直線OE對(duì)稱的圖形，記直線EF′與射線DC的交點(diǎn)為H，△EHC的面積為3 ．
①如圖2，當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)H的左側(cè)時(shí)，求GH，DG的長(zhǎng)；
②當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)H的右側(cè)時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)（直接寫(xiě)出結(jié)果即可）．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵A（﹣2，0），D（0，2 ）

∴AO=2，DO=2 ，

∴tan∠DAO= = ，

∴∠DAO=60°，

∴∠ADO=30°，

∴AD=2AO=4，

∵點(diǎn)E為線段AD中點(diǎn)，

∴DE=2；

（2）解：①如圖2，

過(guò)點(diǎn)E作EM⊥CD，

∴CD∥AB，

∴∠EDM=∠DAB=60°，

∴EM=DEsin60°= ，

∴GH=6，

∵CD∥AB，

∴∠DGE=∠OFE，

∵△OEF′是△OEF關(guān)于直線OE的對(duì)稱圖形，

∴△OEF′≌△OEF，

∴∠OFE=∠OF′E，

∵點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，

∴OE= AD=AE，

∵∠EAO=60°，

∴△EAO是等邊三角形，

∴∠EOA=60°，∠AEO=60°，

∵△OEF′≌△OEF，

∴∠EOF′=∠EOA=60°，

∴∠EOF′=∠AEO，

∴AD∥OF′，

∴∠OF′E=∠DEH，

∴∠DEH=∠DGE，

∵∠DEH=∠EDG，

∴△DHE∽△DEG，

∴ ，

∴DE2=DG×DH，

設(shè)DG=x，則DH=x+6，

∴4=x（x+6），

∴x1=﹣3+ ，x2=﹣3﹣ ，

∴DG=﹣3+ ．

②如圖3，

過(guò)點(diǎn)E作EM⊥CD，

∴CD∥AB，

∴∠EDM=∠DAB=60°，

∴EM=DEsin60°= ，

∴GH=6，

∵CD∥AB，

∴∠DHE=∠OFE，

∵△OEF′是△OEF關(guān)于直線OE的對(duì)稱圖形，

∴△OEF′≌△OEF，

∴∠OFE=∠OF′E，

∵點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，

∴OE= AD=AE，

∵∠EAO=60°，

∴△EAO是等邊三角形，

∴∠EOA=60°，∠AEO=60°，

∵△OEF′≌△OEF，

∴∠EOF′=∠EOA=60°，

∴∠EOF′=∠AEO，

∴AD∥OF′，

∴∠OF′E=∠DEH，

∴∠DEG=∠DHE，

∵∠DEG=∠EDH，

∴△DGE∽△DEH，

∴ ，

∴DE2=DG×DH，

設(shè)DH=x，則DG=x+6，

∴4=x（x+6），

∴x1=﹣3+ ，x2=﹣3﹣ ，

∴DH=﹣3+ ．

∴DG=3+

∴DG=AF=3+ ，

∴OF=5+ ，

∴F（﹣5﹣ ，0）

【解析】（1）根據(jù)點(diǎn)A的坐，點(diǎn)D的坐標(biāo)，在Rt△AOD中，利用解直角三角形易求出結(jié)論。
（2）①由（1）可知∠DAO=60°，添加輔助線，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥CD，利用解直角三角形可求出EM、GH的長(zhǎng)，根據(jù)已知易證明△OEF′≌△OEF，可得出角相等，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，易得到△EAO是等邊三角形，再證明△DHE∽△DEG，得出對(duì)應(yīng)邊成比例，設(shè)DG=x，則DH=x+6，建立方程，求出方程的解即可；②要求點(diǎn)F的坐標(biāo)，就需求OF的長(zhǎng)，解法與①類似求出DG，DG=AF，即可求出OF的長(zhǎng)，從而求出點(diǎn)F的坐標(biāo)。

【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握平行四邊形的對(duì)邊相等且平行；平行四邊形的對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)；平行四邊形的對(duì)角線互相平分；相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方即可以解答此題．