Question

如圖，半徑為2

5

的⊙O內(nèi)有互相垂直的兩條弦AB、CD相交于P點(diǎn)．
（1）求證：PA•PB=PC•PD；
（2）若AB=8，CD=6，求OP的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連接AD，BC，易證Rt△APD∽R(shí)t△CPB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可以證得．
（2）先求出OM，ON，進(jìn)而證得四邊形OMPN是矩形，所以O(shè)P=PM，利用勾股定理可以求出OP．

解答：解：（1）連接AD，BC，
∵∠A、∠C所對(duì)的圓弧相同，
∴∠A=∠C，
∴Rt△APD∽R(shí)t△CPB，
∴

AP

CP

=

PD

PB

，
∴PA•PB=PC•PD；

（2）作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，連接OP，OB，OD，
由垂徑定理得：OM²=（2

5

）²-4²=4，ON²=（2

5

）²-3²=11，
∵弦AB、CD互相垂直，
∴∠DPB=90°，
∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，
∴∠OMP=∠ONP=90°
∴四邊形MONP是矩形，
∴OP=

OM2+ON2

=

15

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出了圓中的兩條相交弦，解決與弦有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，往往需構(gòu)造以半徑、弦心距和弦長(zhǎng)的一半為三邊的直角三角形，若設(shè)圓的半徑為r，弦長(zhǎng)為a，這條弦的弦心距為d，則有等式r²=d²+（

a

2

）²成立，知道這三個(gè)量中的任意兩個(gè)，就可以求出另外一個(gè)．