Question

如圖，直線y=

1

2

x+2分別交x、y軸于點(diǎn)A、C，P是該直線上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，PB⊥x軸，B為垂足，S_△ABP=9．求：
（1）求點(diǎn)A、C的坐標(biāo)；
（2）求反比例函數(shù)解析式；
（3）設(shè)點(diǎn)R與點(diǎn)P在同一個(gè)反比例函數(shù)的圖象上，且點(diǎn)R在直線PB的右側(cè)，作RT⊥x軸，T為垂足，當(dāng)△BRT與△AOC相似時(shí)，求點(diǎn)R的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）要求點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，因?yàn)辄c(diǎn)A、C分別在x、y軸上．可以設(shè)出A（a，0），C（0，c）代入直線的解析式可知．
（2）證明△AOC∽△ABP，利用線段比求出BP，AB的值從而可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可；
（2）設(shè)R點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），求出反比例函數(shù)．又因?yàn)椤鰾RT∽△AOC，利用線段比聯(lián)立方程組求出x，y的值．

解答：解：（1）設(shè)A（a，0），C（0，c）由題意得

1 2 a+2=0 c=2

解得：

a=-4 c=2

∴A（-4，0），C（0，2）

（2）根據(jù)已知條件可得A點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，0），
C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），
即AO=4，OC=2，
又∵S_△ABP=9，
∴AB•BP=18，
又∵PB⊥x軸?OC∥PB，
∴△AOC∽△ABP，
∴

AO

AB

=

OC

BP

即

4

AB

=

2

BP

，
∴2BP=AB，
∴2BP²=18，
∴BP²=9，
∴BP=3，
∴AB=6，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3）；
設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=

k

x

，
由題意得y=

k

2

，解得k=6
∴反比例函數(shù)的解析式為y=

6

x

；

（3）設(shè)R點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y）
∵P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），
∴反比例函數(shù)解析式為y=

6

x

，
當(dāng)△BTR∽△AOC時(shí)，
∴

AO

OC

=

BT

RT

，
即

4

2

=

x-2

y

，
則有

y= 6 x 2y=x-2

，
解得

x= 13 +1 y= 13 -1 2

，
當(dāng)△BRT∽△COA時(shí)
∴

AO

OC

=

RT

BT

，
即

4

2

=

y

x-2

解得x₁=3，x₂=-1（不符合題意應(yīng)舍去）
∴R的坐標(biāo)為（

13

+1，

13 -1

2

）或（3，2）．

點(diǎn)評：本題考查的是一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合運(yùn)用以及相似三角形的判定，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式．難度中上．