Question

【題目】已知：如圖，拋物線y=ax2+bx+2與x軸交于點A（4，0）、E（-2，0）兩點，連結(jié)AB，過點A作直線AK⊥AB，動點P從A點出發(fā)以每秒個單位長度的速度沿射線AK運動，設(shè)運動時間為t秒，過點P作PC⊥x軸，垂足為C，把△ACP沿AP對折，使點C落在點D處．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當(dāng)點D在△ABP的內(nèi)部時，△ABP與△ADP不重疊部分的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出t的取值范圍；

（3）若線段AC的長是線段BP長的，請直接寫出此時t的值；

（4）是否存在這樣的時刻，使動點D到點O的距離最��？若存在請直接寫出這個最小距離；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+x+2，（2）S=-t2+5t（0＜t＜4）（3）t=；（4）.

【解析】

試題分析：（1）用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；

（2）先根據(jù)點D在△APB內(nèi)部，求出t的范圍，然后用△APB減去△APC面積求出不重疊的部分面積；

（3）根據(jù)兩點間的距離公式表示出BP，根據(jù)條件建立方程，求出時間；

（4）先判斷出點D到點O的距離最小時的位置，然后用三角函數(shù)和勾股定理計算．

試題解析：（1）將A，B，E三點代入拋物線解析式中，得

，∴

∴y=-x2+x+2，

（2）∵A（4，0），B（0，2）

∴直線AB解析式為y=-x+2，

∵AB⊥AK，

∴直線AK解析式為y=2x+8，

∴tan∠PAC==2，

∵AP=t，

∴AC=t，PC=2t，

∵D在△ABP內(nèi)部，

∴∠APB＞∠APC，

∴tan∠APB＞tan∠APC，

∴，

∴，

∴t＜4，

∴0＜t＜4，

∴S=S△APB-S△APD

=S△APB-S△APC

=×AB×AP-×AC×PC

=×2×t-×t×2t

=-t2+5t（0＜t＜4）

（3）∵P（t+4，2t），

∴BP=，

∵線段AC的長是線段BP長的，

∴t=，

∴t=-（舍）t=

（4）要使點D到O的距離最小，則有點D在OP上，此時記作D1

在Rt△OCP中，tan∠POC=，

在Rt△OCP中，tan∠AOC=，

∴，

∴OD1=，

根據(jù)勾股定理得，OD12+AD12=OA2，

∴（）2+t2=16，

∴t=-4（舍）t=，

∴AD1==.