Question

（2013•吉安模擬）如圖，直線AB與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A（-4，m）、B（2，n）兩點(diǎn)，在x軸上取一點(diǎn)C，使OA=AC．
（1）如果OAC的面積為8，試確定反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）求AB的長(zhǎng)和cos∠OBA的值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)反比例解析式為y=

k

x

，在三角形OAC中，OA=AC，過A作AD垂直于x軸，確定出CD=OD=4，OC=8，AD=m，表示出三角形OAC面積，根據(jù)三角形OAC面積為8求出m的值，確定出A坐標(biāo)，進(jìn)而求出k的值，確定出反比例解析式；
（2）由反比例解析式求出m與n的值，確定出A與B坐標(biāo)，得到OA=OB，過O作OE垂直于AB，過B作BF垂直于y軸，由OA=OB得到E為AB中點(diǎn)，即AE=BE=

1

2

AB，求出OB與BE的長(zhǎng)，即可確定出AB及cos∠ABO的值．

解答：解：（1）設(shè)反比例函數(shù)解析式為y=

k

x

，
在△OAC中，OA=AC，過A作AD⊥x軸，
∵點(diǎn)C在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)A在第二象限，
∴CD=OD=4，OC=8，AD=m，
∴△OAC面積為

1

2

AD•OC=8=4m，即m=2，
∴k=-4×2=-8，
則反比例函數(shù)解析式為y=-

8

x

；

（2）反比例函數(shù)解析式為y=-

8

x

，即2n=-8，-4m=-8，
解得：m=2，n=-4，即A（-4，2），B（2，-4），
過點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，BF⊥y軸于點(diǎn)F，
∵△AOD≌△BOF，
∴∠AOD=∠BOF，
∴sin∠AOD=sin∠BOF=

2

4

=

1

2

，OA=OB=

20

=2

5

，
∴BE=AE=

1

2

AB=

1

2

×

62+62

=3

2

，
則AB=6

2

，cos∠ABO=

BE

OB

=

3 2

2 5

=

3 10

10

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，涉及的知識(shí)有：待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．