Question

某廣告公司設(shè)計一幅周長為12米的矩形廣告牌，廣告設(shè)計費為每平方米1000元；設(shè)矩形一邊長為x米，面積為S平方米．
（1）求出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并確定自變量X的取值范圍；
（2）請你設(shè)計一個方案，使獲得的設(shè)計費最多，并求出這個費用；
（3）為使廣告牌美觀、大方，要求做成黃金矩形，請你按要求設(shè)計，并計算出可獲得的設(shè)計費是多少（精確到元）．
參考資料：①當矩形的長是寬與（長+寬）的比例中項時，這樣的矩形叫做黃金矩形；②

5

≈2.236．

Answer 1

分析：（1）有矩形的周長，那么可根據(jù)周長表示出矩形的另一邊長，然后用矩形的面積公式即可得出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式．
（2）可根據(jù)（1）得出的函數(shù)的性質(zhì)來確定設(shè)計費最多的方案．
（3）本題的關(guān)鍵是求出矩形兩邊的長，那么可根據(jù)題中給出的黃金矩形的計算公式以及矩形的周長來聯(lián)立方程組，從而得出設(shè)計成黃金矩形時，矩形的長和寬，進而求出矩形的面積，根據(jù)每平米的設(shè)計費，就能求出此時獲得的設(shè)計費．

解答：解：（1）S與x之間的函數(shù)關(guān)系式為S=x（6-x）=-x²+6x，（0＜x＜6）．

（2）S=-x²+6x=-（x-3）²+9．
即：矩形廣告牌設(shè)計為邊長3米的正方形時，矩形的面積最大．為9平方米；
此時可獲得最多設(shè)計費，為9×1000=9000（元）．

（3）設(shè)此黃金矩形的長為x米，寬為y米．則由題意可知：

x2=y(x+y) x+y=6

解得：

x=3 5 -3 y=9-3 5

（x=-3

5

-3不合題意，舍去）
即：當把矩形的長設(shè)計為（3

5

-3）米時．此矩形將成為黃金矩形．
此時S=xy=（3

5

-3）（9-3

5

）=36（

5

-2）
可獲得的設(shè)計費為36（

5

-2）×1000≈8496元．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意找出合適的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．