Question

已知△ABD和△BEP均為等腰直角△，∠BAD=∠BEP=90゜，點O為BD的中點．
（1）如圖，點P、E分別在AB、BD上，求證：AP=

2

OE；
（2）將圖1中的△BPE繞B點順時針旋轉45゜，問（1）中的結論是否成立？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰三角形的兩直角邊相等，和勾股定理求得BP、OB的值．則易證AP與OE的數(shù)量關系；
（2）將圖1中的△BPE繞B點順時針旋轉45゜，問（1）中的結論成立，通過證明△BOA∽△BEP，即可得到問題答案．

解答：（1）證明：∵△ABD為等腰直角三角形，∠BAD=∠BEP=90゜，
∴設AB=AD=a，則BD=

2

a．
又∵點O為BD的中點，
∴OB=

1

2

BD=

2

2

a．
同理，設EP=BE=b，則BP=

2

b．
∴AP=AB-BP=a-

2

b，OE=OB-BE=

2

2

a-b，
則

AP

OE

=

a- 2 b

2 2 a-b

=

2

，
∴AP=

2

OE；

（2）∵△BEP是等腰直角三角形，
∴∠B=∠BPE=45°，
∵△ABD是等腰直角三角形，O是BD的中點，
∴AO⊥BD，
∴∠BOA=∠BEP=90°，∠BAO=180°-∠BOA-∠B=45°，
∴△BOA∽△BEP，
∵

BP

BE

=

BA

BO

=

2

，
∴

AP

OE

=

2

，
∴AP=

2

OE．

點評：本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了等腰直角三角形的判定與性質以及相似三角形的判定和性質，題目的綜合性很強難度不�。�