Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為E，并延長(zhǎng)DE至F，使EF=DE．連接BF、CF、AC．
（1）求證：四邊形ABFC是平行四邊形；
（2）若四邊形ABFC是矩形，求證：△BED∽△DEC；
（3）在（2）的條件下，若等腰梯形的腰AB=5cm，下底BC=8cm，點(diǎn)P是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)P為圓心，以1cm長(zhǎng)為半徑的圓從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2cm的速度向點(diǎn)C移動(dòng)（不與點(diǎn)C重合），當(dāng)⊙P與AC邊相切時(shí)，求⊙P移動(dòng)的時(shí)間．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)DE⊥BC，EF=DE可知△CDF是等腰三角形，故CD=CF，∠DCB=∠FCB，再由在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC可知AB=CD=CF，∠ABC=∠DCB，故∠FCB=∠ABC，所以四邊形ABFC是平行四邊形；
（2）連接BD，由在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC可知梯形ABCD是等腰梯形，故AC=BD，由此可得出△ABC≌△DCB，再由四邊形ABFC是矩形可知∠BAC=90°，故∠BDC=90°，所以∠DBC+∠DCB=90°，再由DE⊥BC可知，∠BED=90°，所以∠BDE=∠DCB，故∠DBC=∠CDE，故可得出結(jié)論；
（3）設(shè)⊙P與AC邊相切于點(diǎn)G，⊙P移動(dòng)的時(shí)間為t，則PC=BC-BP=8-2t，連接GP，則PG⊥AC，再由四邊形ABFC是矩形可知AB⊥AC，故AB∥PG，所以△CGP∽△CAB，再由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出t的值．
解答：（1）證明：∵DE⊥BC，EF=DE，
∴△CDF是等腰三角形，
∴CD=CF，∠DCB=∠FCB，
∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴AB=CD=CF，∠ABC=∠DCB，
∴∠FCB=∠ABC，
∴四邊形ABFC是平行四邊形；

（2）證明：連接BD，
∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴梯形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD，
在△ABC與△DCB中，
∵，
∴△ABC≌△DCB（SSS），
∵四邊形ABFC是矩形，
∴∠BAC=90°，
∴∠BDC=90°，
∴∠DBC+∠DCB=90°，
∵DE⊥BC，
∴∠BED=90°，
∴∠BDE=∠DCB，∠DBC=∠CDE，
∴△BED∽△DEC；

（3）設(shè)⊙P與AC邊相切于點(diǎn)G，⊙P移動(dòng)的時(shí)間為t，則PC=BC-BP=8-2t，連接GP，則PG⊥AC，
∵四邊形ABFC是矩形，
∴AB⊥AC，
∴AB∥PG，
∴△CGP∽△CAB，
∴=，=，
解得t=3.2．
答：⊙P移動(dòng)的時(shí)間為3.2秒．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似形綜合題，涉及到等腰梯形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，涉及面較廣，難度適中．