Question

如圖所示，△ABC和△ACD都是邊長為4厘米等邊三角形，兩個(gè)動點(diǎn)P，Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)P以1 厘米/秒的速度沿A→C→B的方向運(yùn)動，點(diǎn)Q以2厘米/秒的速度沿A→B→C→D的方向運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動到D點(diǎn)時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動．設(shè)P、Q運(yùn)動的時(shí)間為t秒時(shí)．解答下列問題：
（1）點(diǎn)P、Q從出發(fā)到相遇所用時(shí)間是

4

秒；
（2）在P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動過程中，當(dāng)t取何值時(shí)，△APQ也是等邊三角形？并請說明理由；
（3）當(dāng)0＜t＜2時(shí)，∠APQ始終是直角，請畫出示意圖并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)相遇問題，由路程÷速度=時(shí)間建立等式求出t的值即可；
（2）根據(jù)若△APQ是等邊三角形，此時(shí)點(diǎn)P在BC上，點(diǎn)Q在CD上，且△ADQ≌△ACP，進(jìn)而得出CP=DQ，求出即可；
（3）根據(jù)P，Q運(yùn)動速度得出由對邊=斜邊一半 得∠AQP=90°求出即可．

解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)P、Q從出發(fā)到相遇所用時(shí)間是t，根據(jù)題意得：
t+2t=AC+AB+BC=12，
解得：t=4；
故答案為：4；

（2）如圖1：若△APQ是等邊三角形，
此時(shí)點(diǎn)P在BC上，點(diǎn)Q在CD上，且△ADQ≌△ACP，
則CP=DQ，即t-4=4-（2t-8），
解得：t=

16

3

；

（3）如圖2所示：易得：AQ=2AP 又∠PAQ=60度，由對邊=斜邊一半 得∠AQP=90°，
即當(dāng)0＜t＜2時(shí)，∠APQ始終是Rt∠．

點(diǎn)評：此題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)已知圖形得出對應(yīng)線段關(guān)系是解題關(guān)鍵．