Question

已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD，BC=11cm，∠B的余切值為

3

4

．P、Q兩點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，沿著B→A→D→C→B方向勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的速度為每秒2cm，點(diǎn)Q的速度為每秒3cm，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)點(diǎn)Q回到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P也隨即停止運(yùn)動(dòng)．
（1）求：AB的長．
（2）當(dāng)線段PQ與梯形的對(duì)角線平行時(shí)，求：點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．
（3）試探究：在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，能否使直線PQ⊥直線AD？如果能，請(qǐng)求出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；如果不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先作AH⊥BC，作DG⊥BC，由∠B的余切值為

3

4

，即可設(shè)AH=4x，則BH=3x，由勾股定理即可求得AB的值，然后由BC=11cm，可得方程3x+5x+3x=11，則可求得AB的長；
（2）分別從當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上，點(diǎn)Q在邊AD上，PQ∥BD時(shí)；當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上，點(diǎn)Q在邊DC上，PQ∥AC時(shí)；當(dāng)點(diǎn)P在邊DC上，點(diǎn)Q在邊BC上，PQ∥BD時(shí)去分析，根據(jù)平行線分線段成比例定理，即可求得點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在邊CD上、點(diǎn)Q在邊BC上時(shí)，PQ與AD能互相垂直，即可得

3t-15

15-2t

=

3

5

，解此方程即可求得答案．

解答：解：（1）作AH⊥BC，垂足為點(diǎn)H，作DG⊥BC，垂足為點(diǎn)G．
∵AD∥BC，
∴四邊形ABCD是矩形，
∴GH=AD，
∵∠B的余切值為

3

4

，
∴設(shè)AH=4xcm，則BH=3xcm．（1分）
∴AB=5x．（1分）
根據(jù)題意，得3x+5x+3x=11．（1分）
解得x=1．（1分）
∴AB=5．（1分）

（2）（i）當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上，點(diǎn)Q在邊AD上，PQ∥BD時(shí)，
得2t=10-3t．（1分）
解得t=2．（1分）
（ii）當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上，點(diǎn)Q在邊DC上，PQ∥AC時(shí)，
得2t-5=15-3t．（1分）
解得t=4．（1分）
（iii）當(dāng)點(diǎn)P在邊DC上，點(diǎn)Q在邊BC上，PQ∥BD時(shí)，
得

CP

CD

=

CQ

CB

，即

15-2t

5

=

3t-15

11

．（1分）
解得t=

240

37

．（1分）
綜上所述，當(dāng)線段PQ與梯形的對(duì)角線平行時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為2秒，4秒，

240

37

秒．

（3）能．（1分）
當(dāng)點(diǎn)P在邊CD上、點(diǎn)Q在邊BC上時(shí)，PQ與AD能互相垂直．
此時(shí)

3t-15

15-2t

=

3

5

．（1分）
解得t=

40

7

，
即當(dāng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

40

7

秒時(shí)，PQ⊥AD．（1分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等腰梯形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)以及三角函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想，方程思想與分類討論思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．