Question

如圖1，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD平分∠BAC，交⊙O于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)K，過CB延長線上一點(diǎn)E作∠EAB=∠ACE．
（1）求證：AE為⊙O的切線；
（2）如圖2，連BD，若∠E=∠DAB，

BK

BD

=

3

5

，DK=2

5

，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）如圖1，連接OA、OD．欲證明AE為⊙O的切線，只需證得OA⊥AE即可；
（2）如圖2，連接CD、OC、OD．利用（1）中的結(jié)論，由弦切角的性質(zhì)和已知條件易證得∠CKD=∠CDK，故CD=CK．所以設(shè)BK=3t，則BD=CD=CK=5t，由垂徑定理得
BH=CH=4t．在Rt△DHC中，根據(jù)勾股定理可得DH=3t，在Rt△DHK中，根據(jù)勾股定理得DH²+HK²=DK²，由此求得t=

2

．在Rt△OCH中，由勾股定理得：OH²+CH²=OC²，
即（r-3

2

）²+（4

2

）²=r²，解得r=

25

6

2

．

解答：（1）證明：如圖1，連接OA、OD．
∵AD平分∠BAC
∴∠CAD=∠BAD．
∴

CD

=

BD

．
又∵∠EAB=∠C，∠CKD=∠C+∠CAD，
∴∠CKD=∠KAE
又∵

CD

=

BD

，
∴由垂徑定理得OD⊥BC，
∴∠CKD+∠ODA=90°，
又OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠OAD+∠KAE=90°，即OA⊥AE．
∵OA是半徑，
∴AE為⊙O的切線；

（2）如圖2，連接CD、OC、OD
∵∠E=∠DAB，
∴∠KBA=∠KAE=∠CDK，由（1）證得了∠CKD=∠KAE，
∴∠CKD=∠CDK，
∴CD=CK
∴設(shè)BK=3t，則BD=CD=CK=5t，由垂徑定理得BH=CH=4t，
∴HK=t，
在Rt△DHC中，根據(jù)勾股定理可得DH=3t
在Rt△DHK中，根據(jù)勾股定理得DH²+HK²=DK²，
即（3t）²+t²=（2

5

）²，
解得t=

2

．
在Rt△OCH中，設(shè)OC=r，OH=r-3

2

，CH=4

2

，
由勾股定理得：OH²+CH²=OC²，
即（r-3

2

）²+（4

2

）²=r²，解得r=

25

6

2

．

點(diǎn)評：本題考查切線的判定與性質(zhì)、垂徑定理和勾股定理．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．