Question

（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)
（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；
（2）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
（3）當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的正整數(shù)，在區(qū)間上總有個(gè)數(shù)使得成立，試求正整數(shù)的最大值。

Answer 1

（1），沒(méi)有極大值.
（2）綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間為
（3）解析:
（1）先求出函數(shù)的定義域，再求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究其單調(diào)性求出
其極值；（2）令=0，得，比較與的大小得和的范圍，就得到了函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）解本題的關(guān)鍵是要使在區(qū)間上總有個(gè)數(shù)使得成立，只需
即可。
解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/imagenew2/czhx/15/535.png"> ……………………………………1分
當(dāng)時(shí)，，∴………………2分
由得隨變化如下表：

	—	0	+
	↘	極小值	↙

故，，沒(méi)有極大值. …………………………4分
（2）由題意，
令得，………………………………………………6分
若，由得；由得…………7分
若，①當(dāng)時(shí)，，或，；，
②當(dāng)時(shí)，
③當(dāng)時(shí)，或,;，
綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間為
……………………………………………………………………10分
（3）當(dāng)時(shí)，
∵，∴ ∴，
 ………………………………………………12分
由題意，恒成立。
令，且在上單調(diào)遞增，
，因此，而是正整數(shù)，故，
所以，時(shí)，存在，時(shí)，對(duì)所有滿足題意，∴