Question

【題目】已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，短軸的一個(gè)端點(diǎn)到的距離等于焦距.

（1）求橢圓的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，是否存在直線，使得△與△的面積比值為？若存在，求出直線的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）由已知得值，利用求得，從而得到橢圓的方程；（2）根據(jù)三角形的面積公式知等價(jià)于，要對(duì)斜率進(jìn)行討論，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，不符合題意，舍去；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，將直線與橢圓聯(lián)立方程，結(jié)合韋達(dá)定理可得到關(guān)于直線斜率的方程，從而得到值，求得直線方程.

試題解析：（1）由已知得

，所以橢圓的方程為

（2）等價(jià)于

當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，不符合題意，舍去；

當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，

由消并整理得

設(shè)，則

①，②

由得③

由①②③解得，因此存在直線使得與的面積比值為2