Question

【題目】函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時，若，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）.

【解析】試題分析：（1）求出導(dǎo)函數(shù)對分四種情況討論： ，分別令求得 的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間， 求得 的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（2）對討論兩種情況： 時，由（1）知， 在上單調(diào)遞增，當(dāng)時， ，可得，符合題意； 時， 在上單調(diào)遞減，當(dāng)時， ，可證明，不合題意，從而可得實數(shù)的取值范圍是.

試題解析：（1）由得，故的定義域為， ，

因為，所以，

①當(dāng)時， 對恒成立，

在內(nèi)無解，故在上單調(diào)遞增；

②當(dāng)時，因為恒成立，所以上單調(diào)遞增；

③當(dāng) 時， 恒成立， ，在上單調(diào)遞增；

④當(dāng)時，由，得 ，

由，得，

故在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，

綜上，當(dāng)時， 在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時， 在上單調(diào)遞減， 在和上單調(diào)遞增.

（2）①當(dāng)時，由（1）知， 在上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時， ，即 ，

兩式相減得，

②當(dāng)時， 在上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時， ，

即 ，兩式相減得，

綜上可知，當(dāng)時，若，則實數(shù)的取值范圍是

【方法點晴】本題主要考查的是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、不等式的恒成立和分類討論思想的應(yīng)用，屬于難題．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)一步求函數(shù)最值的步驟：①確定函數(shù)的定義域；②對求導(dǎo)；③令，解不等式得的范圍就是遞增區(qū)間；令，解不等式得 的范圍就是遞減區(qū)間；④根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的極值及最值（閉區(qū)間上還要注意比較端點處函數(shù)值的大小）.