Question

想一想，填一填．
（1）分母是15的最簡真分數(shù)的和是

4

．
（2）1～1000中，能被2或3整除的數(shù)有

667

個．
（3）把

15

7

化成小數(shù)，小數(shù)部分第100位上的數(shù)是

8

．
（4）一個數(shù)與它自己相加、相減、相除，所得的和、差、商的和是4017．這個數(shù)是

2008

．
（5）有一個最簡分數(shù)，若給它的分子加上2，可化簡為

3

10

；若給它的分母減去2，可化簡為

1

4

．那么原來這個分數(shù)是

7

30

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)最簡真分數(shù)的意義，分子小于分母且分子和分母是互質(zhì)數(shù)的分數(shù)叫做最簡真分數(shù)．據(jù)此找出分母是15的最簡真分數(shù)，再求出它們的和即可．
（2）根據(jù)同時能被2或3整除的數(shù)的特征，個位上必須是偶數(shù)且各位上的數(shù)字質(zhì)和是3的倍數(shù)，用能被2整除的數(shù)的個數(shù)加上能被3整除的數(shù)的個數(shù)，再減去能被6整除的數(shù)的個數(shù)即可．據(jù)此解答．
（3）首先把

15

7

化成小數(shù)，再看它的循環(huán)節(jié)是幾位數(shù)，用100除以循環(huán)周期，如果能整除則是直接的末位數(shù)字，如果有余數(shù)，余數(shù)是幾就從循環(huán)節(jié)的首位數(shù)出第幾位，該位上數(shù)字即是所求數(shù)字．
（4）根據(jù)題意可知，一個自然數(shù)與它自己相加的和是這個數(shù)的2倍，一個自然數(shù)與它自己相減的差是0，一個自然數(shù)與它自己相除的商是1；那么用所得的和、差、商的結果減去1，就是這個數(shù)的2倍，再除以2就是這個自然數(shù)．
（5）假設原來的最簡分數(shù)是

b

a

，根據(jù)“若分子加上2，約分后為

3

10

”，原分數(shù)就變?yōu)?span id="iyfhpew" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

b+2

10

，與

3

10

相等；再根據(jù)“若分母減去2，約分后為

1

4

”，原分數(shù)就變?yōu)?span id="sarfkto" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

b

a-2

，與

1

4

相等；把這兩個方程進一步轉(zhuǎn)化為是求一個未知數(shù)的方程，進而求得分子和分母的數(shù)值，問題得解．

解答：解：（1）

1

15

+

2

15

+

4

15

+

7

15

+

8

15

+

11

15

+

13

15

+

14

15

=

60

15

=4；

（2）能被2整除的數(shù)有：1000÷2=500（個），
能被整除的數(shù)有：1000÷3=333（個），
能被2和3同時整除，即能被6整除的：1000÷6=166（個），
那么能被2或3整除的：500+333-166=667（個 ）；

（3）

15

7

=15÷7=2.

?

1

4285

?

7

，
100÷6=16（個周期）…4；
所以第100位上的數(shù)是8．

（4）（4017-1）÷2，
=4016÷2，
=2008．
答：這個自然數(shù)是2008．

（5）設原來的最簡分數(shù)是

b

a

，
因為

b+2

a

=

3

10

，所以a=

10b+20

3

，
因為

b

a-2

=

1

4

，所以a=4b+2，
所以

10b+20

3

=4b+2，兩邊同時乘3，
  得10b+20=12b+6，
10b+20-10b=12b+6-10b，
        20=2b+6
       20-6=2b+6-6
         14=2b
      14÷2=2b÷2
          b=7，
所以a=4b+2=4×7+2=30，
答：原來這個分數(shù)是

7

30

．
故答案為：（1）4；（2）667；（3）8；（4）2008；（5）

7

30

．

點評：此題考查的知識點特別多，目的是培養(yǎng)學生綜合運用知識解答問題的能力．