Question

【題目】在邊長(zhǎng)為1的正三角形中任意放入122個(gè)點(diǎn)，必有2個(gè)點(diǎn)的距離不大于，n為大于0的整數(shù)．則n的最大值為　 　．

Answer 1

【答案】11

【解析】

試題分析：要使任意兩個(gè)的點(diǎn)的距離最大必須使這些點(diǎn)均勻分布，根據(jù)抽屜原理，先把122﹣1=121個(gè)點(diǎn)，均勻的放到大等邊三角形中，那么把大等邊三角形平均分成121個(gè)小等邊三角形，在這121個(gè)小等邊三角形中各放一個(gè)點(diǎn)，再放第122個(gè)點(diǎn)，不論放到哪一個(gè)小等邊三角形里，總有兩個(gè)點(diǎn)的距離不大于，因?yàn)槊總�(gè)小等邊三角形的邊長(zhǎng)為1÷11=，設(shè)把大等邊三角形的每個(gè)邊長(zhǎng)n等分，那么小等邊三角形的每個(gè)邊長(zhǎng)為，從第一等分點(diǎn)開始以次有：1、3、5、7、…個(gè)小等邊三角形；根據(jù)等差數(shù)列可得最后一個(gè)等分點(diǎn)有小等邊三角形：1+（n﹣1）×2=2n﹣1個(gè)，再根據(jù)高斯求和公式可得：（1+2n﹣1）n÷2=121，解答即可．

解：設(shè)把大等邊三角形的每個(gè)邊長(zhǎng)n等分，那么小等邊三角形的每個(gè)邊長(zhǎng)為，從第一等分點(diǎn)開始依次有：1、3、5、7、…個(gè)小等邊三角形；根據(jù)等差數(shù)列可得最后一個(gè)等分點(diǎn)有小等邊三角形：1+（n﹣1）×2=2n﹣1個(gè)，

列方程得（1+2n﹣1）n÷2=121，

n2=121

n=11．

故答案為：11．