Question

【題目】如圖，在三棱柱中，側面底面， 和都是邊長為2的正三角形.

（Ⅰ）過作出三棱柱的截面，使截面垂直于，并證明；

（Ⅱ）求與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（Ⅰ）設AB中點為O，連OC，OB1，B1C，則截面OB1C為所求，通過證明AB⊥OC，AB⊥OB1，推出AB⊥平面OB1C．

（Ⅱ）以O為原點，OB方向為x軸方向建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面BCC1B1的一個法向量，利用公式即可求得AC1與平面BCC1B1所成角的正弦值．

試題解析：

（Ⅰ）設中點為，連，則截面為所求，

分別為的中線，所以，

又為平面內的兩條相交直線，所以平面，

（Ⅱ）以為原點， 方向為軸方向建立如圖所示的空間直角坐標系，

易求得，

，

設平面的一個法向量為，

由解得平面的一個法向量為，…10分

，

所以與平面所成角的正弦值為