Question

【題目】 有10粒糖，每天至少吃一粒，吃完為止，共有多少種不同的吃法？

Answer 1

【答案】512

【解析】初看本題似乎覺(jué)得很好入手，比如可以按天數(shù)進(jìn)行分類枚舉：

1天吃完的有1種方法，這天吃10塊；2天吃完的有9種方法，10=1+9=2+8=……=9+1；

當(dāng)枚舉到3天吃完的時(shí)，情況就有點(diǎn)錯(cuò)綜復(fù)雜了，叫人無(wú)所適從……所以我們必須換一種角度來(lái)思考．

不妨從具體的例子入手來(lái)分析，比如這10塊糖分4天吃完：

第1天吃2塊；第2天吃3塊；第3天吃1塊；第4天吃4塊．

我們可以將10個(gè)“○”代表10粒糖，把10個(gè)“○”排成一排，“○”之間共有9個(gè)空位，若相鄰兩塊糖是分在兩天吃的，就在其間畫(huà)一條豎線(如下圖)．

○○|○○○|○|○○○○

比如上圖就表示“第1天吃2塊；第2天吃3塊；第3天吃1塊；第4天吃4塊．”

這樣一來(lái)，每一種吃糖的方法就對(duì)應(yīng)著一種“在9個(gè)空位中插入若干個(gè)‘|’的方法”，要求有多少個(gè)不同的吃法，就是要求在這9個(gè)空位中插入若干個(gè)“|”的方法數(shù)。

由于每個(gè)空位都有畫(huà)‘|’與“不畫(huà)‘|’兩種可能：

根據(jù)乘法原理，在這9個(gè)空位中畫(huà)若干個(gè)“|”的方法數(shù)有：，這也就說(shuō)明吃完10顆糖共有512種不同的吃法。