Question

【題目】已知圓C1：x2＋y2＝r2截直線x＋y－＝0所得的弦長為.拋物線C2：x2＝2py(p>0)的焦點在圓C1上.

(1)求拋物線C2的方程；

(2)過點A(－1,0)的直線l與拋物線C2交于B、C兩點，又分別過B、C兩點作拋物線C2的切線，當兩條切線互相垂直時，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】(1)x2＝4y．(2)x－y＋1＝0．

【解析】試題分析：（1）由題意，圓心到直線的距離，結合弦長求半徑，從而得到焦點的坐標，進而寫出拋物線的方程；（2）設直線的方程為，設，直線方程與聯(lián)立方程化簡得到，從而利用韋達定理得到，再由兩條切線互相垂直及導數(shù)的幾何意義可得，從而解出，進而寫出直線的方程.

試題解析：(1)易求得圓心到直線的距離為，

所以半徑r＝＝1.∴圓C1：x2＋y2＝1.拋物線的焦點(0，)在圓x2＋y2＝1上，得p＝2，

所以x2＝4y．

(2)設所求直線的方程為y＝k(x＋1)，

B(x1，y1)，C(x2，y2)．

將直線方程代入拋物線方程可得x2－4kx－4k＝0，

∴x1x2＝－4k．

因為拋物線y＝，所以y′＝，

所以兩條切線的斜率分別為、，

所以·＝－1＝，所以k＝1．

故所求直線方程為x－y＋1＝0．