Question

【題目】如圖，長方體中， 與底面所成的角為.

（1）求四棱錐的體積；

（2）求異面直線與 所成角的大小．

Answer 1

【答案】(1) ；（2）.

【解析】試題分析：（1）先證明是與底面所成的角，可得，利用棱錐的體積公式可得結(jié)果；（2）由，可得是異面直線與所成角（或所成角的補(bǔ)角），利用余弦定理可得結(jié)果．

試題解析：（1）∵長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，

∴AA1⊥平面ABCD，AC==2，

∴∠A1CA是A1C與底面ABCD所成的角，

∵A1C與底面ABCD所成的角為60°，

∴∠A1CA=60°，∴AA1=ACtan60°=2=2，

∵S正方形ABCD=AB×BC=2×2=4，

∴四棱錐A1﹣ABCD的體積：

V===．

（2）∵BD∥B1D1，

∴∠A1BD是異面直線A1B與B1D1所成角（或所成角的補(bǔ)角）．

∵BD=，A1D=A1B==2，

∴cos∠A1BD===．

∴∠A1BD=arccos．

∴異面直線A1B與 B1D1所成角是arccos．

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查異面直線所成的角立及棱錐的體積公式，屬于中檔題.求異面直線所成的角主要方法有兩種：一是向量法，根據(jù)幾何體的特殊性質(zhì)建立空間直角坐標(biāo)系后，分別求出兩直線的方向向量，再利用空間向量夾角的余弦公式求解；二是傳統(tǒng)法，利用平行四邊形、三角形中位線等方法找出兩直線成的角，再利用平面幾何性質(zhì)求解.