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（12分）
一種填數(shù)字彩票2元一張，購買者在彩票上依次填上0～9中的兩個數(shù)字（允許重復），中獎規(guī)則如下:如果購買者所填的兩個數(shù)字依次與開獎的四個有序數(shù)字分別對應相等，則中一等獎10元；如果購買者所填的兩個數(shù)字中，只有第二個數(shù)字與開獎的第二個數(shù)字相等，則中二等獎2元，其他情況均不中獎。
⑴小明和小輝在沒有商量的情況下各買了一張這種彩票，求他倆都中一等獎的概率；
⑵求購買一張這種彩票能夠中獎的概率；
⑶設(shè)購買一張這種彩票的收益為隨機變量§，求§的數(shù)學期望。

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一．填空題：

1．；    2．；                 3．       4．2；           5．；

6. ；   7．；  8．3；          9．；     10．．

二．選擇題：11．B ；     12．C；     13．C．

三．解答題：

14．[解]（Ⅰ）方法一（綜合法）設(shè)線段的中點為，連接，

則為異面直線OC與所成的角（或其補角）  ………………………………..1分

       由已知，可得，

為直角三角形       ……………………………………………………………….1分

，  ……………………………………………………………….4分

．

所以，異面直線OC與MD所成角的大小．   …………………………..1分

方法二(向量法)

以AB,AD,AO所在直線為軸建立坐標系，

則, ……………………………………………………2分

，， ………………………………………………………………………………..1分

 設(shè)異面直線OC與MD所成角為，

．……………………………….. …………………………2分

 OC與MD所成角的大小為．…………………………………………………1分

（Ⅱ）方法一（綜合法）

作于， ……………………………………………………………………………1分

且，平面

平面 ………………………………………………………………………………4分

所以，點到平面的距離 …………………………………………………2分

方法二(向量法)

設(shè)平面的一個法向量，

…………………………………………………………………2分

．

……………………………………………………………………………………….2分

設(shè)到平面的距離為

則．……………………………………………………………………3分

15．[解]（Ⅰ）設(shè)“小明中一等獎”為事件 ，“小輝中一等獎”為事件 ，事件與事件相互獨立，他們倆都中一等獎，則

所以，購買兩張這種彩票都中一等獎的概率為． ………………………………..4分

（Ⅱ）事件的含義是“買這種彩票中獎”，或“買這種彩票中一等獎或中二等獎”…1分

顯然，事件A與事件B互斥，

所以， ………………………………..3分

故購買一張這種彩票能中獎的概率為．……………………………………………………..1分

（Ⅲ）對應不中獎、中二等獎、中一等獎，的分布列如下：

…………………………………………..………………………………………………….3分

購買一張這種彩票的期望收益為損失元．…………………………………………………..3分

16．[解] （Ⅰ）由于恒成立，所以函數(shù)的定義域為………………..2分

，

（1）當時，函數(shù)，函數(shù)的值域為…………………………1分

（2）當時，因為，所以，

，從而，………………………………………………..3分

所以函數(shù)的值域為．   ……………………………………………………….1分

（Ⅱ）假設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)，則，對于任意的，有成立，

即

當時，函數(shù)是奇函數(shù)．  …………………………………………………….2分

當時，函數(shù)是偶函數(shù)．  ………………………………………………..2分

當，且時，函數(shù)是非奇非偶函數(shù)．  ………………………………….1分

對于任意的，且，

………………………………………..3分

所以，當時，函數(shù)是常函數(shù)   ………………………………………..1分

當時，函數(shù)是遞減函數(shù)．   ………………………………………..1分

17．[解]（Ⅰ）由題意，……………………………6分

（Ⅱ）解法1：由且知

，，

，，

因此，可猜測（）     ………………………………………………………4分

將，代入原式左端得

左端

即原式成立，故為數(shù)列的通項．……………………………………………………….3分

用數(shù)學歸納法證明得3分

解法2：由 ，

令得，且

即，……… ……………………………………………………………..4分

所以

因此，，．．．，

將各式相乘得………………………………………………………………………………3分

（Ⅲ）設(shè)上表中每行的公比都為，且．因為，

所以表中第1行至第9行共含有數(shù)列的前63項，故在表中第10行第三列，………2分

因此．又，所以． …………………………………..3分

則．…………………………………………2分

18．[解]（Ⅰ）動點的軌跡是以為原點，以3為半徑的球面 ……………………………1分

并設(shè)動點的坐標為，動點滿足．

則球面的方程為． …………………………………………………4分

（Ⅱ）設(shè)動點，則

所以  ……………………………………………………………5分

整理得曲面的方程：      （*）   …………………………………………2分

若坐標系原點建在平面上的點處，可得曲面的方程：同樣得分．

（Ⅲ）（1）對稱性：由于點關(guān)于平面的對稱點、關(guān)于平面的對稱點均滿足方程（*），所以曲面關(guān)于平面與平面對稱．  …………………2分

又由于點關(guān)于軸的對稱點滿足方程（*），所以曲面關(guān)于軸對稱．

（2）范圍：由于，所以，，即曲面在平面上方．  ………………2分

（3）頂點：令，得，即坐標原點在曲面上，點是曲面的頂點．  …2分

…………………………2分