題目列表(包括答案和解析)
設(shè)函數(shù)
（1）當(dāng)
時(shí)，求曲線
處的切線方程；
（2）當(dāng)
時(shí)，求
的極大值和極小值；
（3）若函數(shù)在區(qū)間
上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
【解析】（1）中，先利用
，表示出點(diǎn)的斜率值
這樣可以得到切線方程。（2）中，當(dāng)
，再令
，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定單調(diào)性，進(jìn)而得到極值。（3）中，利用函數(shù)在給定區(qū)間遞增，說明了在區(qū)間導(dǎo)數(shù)恒大于等于零，分離參數(shù)求解范圍的思想。
解：（1）當(dāng)……2分
∴
即
為所求切線方程�！�4分
（2）當(dāng)
令………………6分
∴
遞減，在（3，+
）遞增
∴的極大值為
…………8分
（3）
①若
上單調(diào)遞增。∴滿足要求。…10分
②若
∵
恒成立，
恒成立，即a>0……………11分
時(shí)，不合題意。綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是
已知
，函數(shù)
（1）當(dāng)
時(shí)，求函數(shù)
在點(diǎn)(1，
)的切線方程；
(2)求函數(shù)在[－1，1]的極值；
(3)若在
上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0，使
>g(xo)成立，求正實(shí)數(shù)
的取值范圍。
【解析】本試題中導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。（1）中
，那么當(dāng)時(shí)，
又 
所以函數(shù)在點(diǎn)(1，)的切線方程為
；（2）中令
有 
對(duì)a分類討論
，和
得到極值。（3）中，設(shè)
，
，依題意，只需
那么可以解得。
解：（Ⅰ）∵
∴
∴ 當(dāng)時(shí)， 又
∴ 函數(shù)在點(diǎn)(1，)的切線方程為 --------4分
（Ⅱ）令 有
①
當(dāng)
即時(shí)
|
|
（－1，0） |
0 |
（0， |
|
（ |
|
|
+ |
0 |
－ |
0 |
+ |
|
|
|
極大值 |
|
極小值 |
|
故的極大值是
，極小值是
②
當(dāng)
即時(shí)，在（－1,0）上遞增，在（0,1）上遞減，則的極大值為
，無極小值。
綜上所述 時(shí)，極大值為，無極小值
時(shí) 極大值是，極小值是 ----------8分
（Ⅲ）設(shè)，
對(duì)
求導(dǎo)，得
∵
， 
∴ 在區(qū)間
上為增函數(shù)，則
依題意，只需，即
解得 
或
（舍去）
則正實(shí)數(shù)的取值范圍是（
，
）
如圖，
，
，…，
，…是曲線
上的點(diǎn)，
，
，…，
，…是
軸正半軸上的點(diǎn)，且
，
，…，
，…
均為斜邊在軸上的等腰直角三角形（
為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）寫出
、
和
之間的等量關(guān)系，以及、和
之間的等量關(guān)系；
（2）求證：
（
）；
（3）設(shè)
，對(duì)所有，
恒成立，求實(shí)數(shù)
的取值范圍．
【解析】第一問利用有
，
得到
第二問證明：①當(dāng)
時(shí)，可求得
，命題成立；②假設(shè)當(dāng)
時(shí)，命題成立，即有
則當(dāng)
時(shí)，由歸納假設(shè)及
，
得
第三問
．………………………2分
因?yàn)楹瘮?shù)
在區(qū)間
上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，
最大為
，即
解：（1）依題意，有，，………………4分
（2）證明：①當(dāng)時(shí)，可求得，命題成立；
……………2分
②假設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，即有，……………………1分
則當(dāng)時(shí)，由歸納假設(shè)及，
得．
即
解得
（
不合題意，舍去）
即當(dāng)時(shí)，命題成立． …………………………………………4分
綜上所述，對(duì)所有，． ……………………………1分
（3） 
．………………………2分
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，最大為，即
．……………2分
由題意，有
．
所以，
已知函數(shù) 
R)．
（Ⅰ）若 
，求曲線
在點(diǎn) 
處的的切線方程；
（Ⅱ）若 
對(duì)任意 
恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。
第一問中，利用當(dāng)
時(shí)，
．
因?yàn)榍悬c(diǎn)為（
），
則
，
所以在點(diǎn)（）處的曲線的切線方程為：
第二問中，由題意得，
即
即可。
Ⅰ）當(dāng)時(shí)，．
，
因?yàn)榍悬c(diǎn)為（），
則，
所以在點(diǎn)（）處的曲線的切線方程為：． ……5分
（Ⅱ）解法一：由題意得，即． ……9分
（注：凡代入特殊值縮小范圍的均給4分）
，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911405226518211/SYS201207091141419057564738_ST.files/image016.png">，所以
恒成立，
故
在
上單調(diào)遞增，
……12分
要使
恒成立，則
，解得．……15分
解法二：
……7分
（1）當(dāng)
時(shí)，在
上恒成立，
故在上單調(diào)遞增，
即．
……10分
（2）當(dāng)
時(shí)，令
，對(duì)稱軸
，
則
在上單調(diào)遞增，又
① 當(dāng)
，即
時(shí)，
在上恒成立，
所以在單調(diào)遞增，
即，不合題意，舍去
②當(dāng)
時(shí)，
，
不合題意，舍去 14分
綜上所述：
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