題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿(mǎn)分14分）已知函數(shù)
＝
＋
有如下性質(zhì)：如果常數(shù)
＞0，那么該
函數(shù)在
0，
上是減函數(shù)，在
，＋∞
上是增函數(shù)．
（1）如果函數(shù)＝＋
（＞0）的值域?yàn)?img
src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052422081064063640/SYS201205242209514375278025_ST.files/image008.png">6，＋∞，求
的值；
（2）研究函數(shù)＝
＋
（常數(shù)
＞0）在定義域內(nèi)的單調(diào)性，并說(shuō)明理由；
（3）對(duì)函數(shù)＝＋和＝＋
（常數(shù)＞0）作出推廣，使它們都是你所推廣的
函數(shù)的特例．
（4）（理科生做）研究推廣后的函數(shù)的單調(diào)性（只須寫(xiě)出結(jié)論，不必證明），并求函數(shù)
＝
＋
（
是正整數(shù)）在區(qū)間[
，2]上的最大值和最小值（可利用你
的研究結(jié)論）．
（本小題滿(mǎn)分14分）已知函數(shù)
＝
＋
有如下性質(zhì)：如果常數(shù)
＞0，那么該
函數(shù)在
0，
上是減函數(shù)，在
，＋∞
上是增函數(shù)．
（1）如果函數(shù)＝＋
（＞0）的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/d8/1/skgw31.gif" style="vertical-align:middle;" />6，＋∞，求
的值；
（2）研究函數(shù)＝
＋
（常數(shù)
＞0）在定義域內(nèi)的單調(diào)性，并說(shuō)明理由；
（3）對(duì)函數(shù)＝＋和＝＋
（常數(shù)＞0）作出推廣，使它們都是你所推廣的
函數(shù)的特例．
（4）（理科生做）研究推廣后的函數(shù)的單調(diào)性（只須寫(xiě)出結(jié)論，不必證明），并求函數(shù)
＝
＋
（
是正整數(shù)）在區(qū)間[
，2]上的最大值和最小值（可利用你
的研究結(jié)論）．
＝
＋
有如下性質(zhì)：如果常數(shù)
＞0，那么該
0，
上是減函數(shù)，在
，＋∞
上是增函數(shù)．＝＋
（＞0）的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823190522855112.gif" style="vertical-align:middle;" />6，＋∞，求
的值；＝
＋
（常數(shù)
＞0）在定義域內(nèi)的單調(diào)性，并說(shuō)明理由；＝＋和＝＋
（常數(shù)＞0）作出推廣，使它們都是你所推廣的
＝
＋
（
是正整數(shù)）在區(qū)間[
，2]上的最大值和最小值（可利用你（本小題滿(mǎn)分14分）已知函數(shù)f(x)＝(x2－3x＋3)·ex的定義域?yàn)閇－2，t](t>－2)，設(shè)f(－2)＝m，f(t)＝n.
(1)試確定t的取值范圍，使得函數(shù)f(x)在[－2，t]上為單調(diào)函數(shù)；
(2)求證：n>m；
(3)若t為自然數(shù)，則當(dāng)t取哪些值時(shí)，方程f(x)－m＝0(m∈R)在[－2，t]上有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，并求出相應(yīng)的實(shí)數(shù)m的取值范圍.
15．（本小題滿(mǎn)分14分）
已知函數(shù)f(x)＝sin2x＋sinxcosx－(xÎR)．
（1）若xÎ(0，)，求f(x)的最大值；
（2）在△ABC中，若A＜B，f(A)＝f(B)＝，求的值．
一. 選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
D
B
A
A
D
C
D
A
C
C
B
1．.因所以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，
2．.因，
3．.令，則，
4．.
5. . ，，…，
6．D. 函數(shù)
7． .由題知,垂足的軌跡為以焦距為直徑的圓,則
又,所以
8．. 常數(shù)項(xiàng)為
9. A.
10．. 解：①③④正確，②錯(cuò)誤。易求得、到球心的距離分別為3、2，若兩弦交于，則⊥，中，有，矛盾。當(dāng)、、共線時(shí)分別取最大值5最小值1。
11. . 一天顯示的時(shí)間總共有種,和為23總共有4種,故所求概率為.
12．. 解：當(dāng)時(shí)，顯然不成立
當(dāng)時(shí)，因當(dāng)即時(shí)結(jié)論顯然成立；
當(dāng)時(shí)只要即可
即
則
二. 填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。
13. 14. 15. 16. B、D
13. 由已知得,則
14．
15.
16． 解：真命題的代號(hào)是： BD 。易知所盛水的容積為容器容量的一半，故D正確，于是A錯(cuò)誤；水平放置時(shí)由容器形狀的對(duì)稱(chēng)性知水面經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，故B正確；C的錯(cuò)誤可由圖1中容器位置向右邊傾斜一些可推知點(diǎn)P將露出水面。
三. 解答題：本大題共6小題，共74分。
17.解：由得
∴ ∴
∴，又
∴
由得
即 ∴
由正弦定理得
18.解：（1）的所有取值為
的所有取值為,
、的分布列分別為：
0.8
0.9
1.0
1.125
1.25
P
0.2
0.15
0.35
0.15
0.15
0.8
0.96
1.0
1.2
1.44
P
0.3
0.2
0.18
0.24
0.08
（2）令A(yù)、B分別表示方案一、方案二兩年后柑桔產(chǎn)量超過(guò)災(zāi)前產(chǎn)量這一事件，
,
可見(jiàn)，方案二兩年后柑桔產(chǎn)量超過(guò)災(zāi)前產(chǎn)量的概率更大
（3）令表示方案所帶來(lái)的效益，則
10
15
20
P
0.35
0.35
0.3
10
15
20
P
0.5
0.18
0.32
所以
可見(jiàn)，方案一所帶來(lái)的平均效益更大。
19．解：（1）設(shè)的公差為，的公比為，則為正整數(shù)，
，
依題意有①
由知為正有理數(shù)，故為的因子之一，
解①得
故
（2）
∴
20．解 ：（1）證明：依題設(shè)，是的中位線，所以∥，
則∥平面，所以∥。
又是的中點(diǎn)，所以⊥，則⊥。
因?yàn)椤�，⊥�?/p>
所以⊥面，則⊥，
因此⊥面。
（2）作⊥于，連。因?yàn)椤推矫妫?/p>
根據(jù)三垂線定理知，⊥，
就是二面角的平面角。
作⊥于，則∥，則是的中點(diǎn)，則。
設(shè)，由得，，解得，
在中，，則，。
所以，故二面角為。
解法二：（1）以直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則
所以
所以
所以平面
由∥得∥，故：平面
(2)由已知設(shè)
由與共線得:存在有得
同理:
設(shè)是平面的一個(gè)法向量,
則令得
又是平面的一個(gè)法量
所以二面角的大小為
（3）由（2）知，，，平面的一個(gè)法向量為。
則。
則點(diǎn)到平面的距離為
21．證明：（1）設(shè)，由已知得到，且，，
從而,解得
因此的方程為：
同理的方程為：
又在上，所以，
即點(diǎn)都在直線上
又也在直線上,所以三點(diǎn)共線
（2）垂線的方程為：，
由得垂足，
設(shè)重心
所以 解得
由 可得即為重心所在曲線方程
22．解：、當(dāng)時(shí)，，求得 ，
于是當(dāng)時(shí)，；而當(dāng) 時(shí)，．
即在中單調(diào)遞增，而在中單調(diào)遞減．
（2）.對(duì)任意給定的，，由 ，
若令 ，則 … ① ，而 … ②
（一）、先證；因?yàn)椋�，�?/p>
又由 ，得 ．
所以
．
（二）、再證；由①、②式中關(guān)于的對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)．則
（?）、當(dāng)，則，所以，因?yàn)?，
，此時(shí)．
（?）、當(dāng) …③，由①得 ,，，
因?yàn)?nbsp; 所以 … ④
同理得 … ⑤ ，于是 … ⑥
今證明 … ⑦, 因?yàn)? ，
只要證 ，即 ，也即 ，據(jù)③，此為顯然．
因此⑦得證．故由⑥得 ．
綜上所述，對(duì)任何正數(shù)，皆有．
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