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        1. 1.在全面復習函數(shù)有關知識的基礎上.進一步深刻理解函數(shù)的有關概念.全面把握各類函數(shù)的特征.提高運用基礎知識解決問題的能力. 查看更多

           

          題目列表(包括答案和解析)

          對于三次函數(shù)

          定義:(1)設是函數(shù)的導數(shù)的導數(shù),若方程有實數(shù)解,則稱點為函數(shù)的“拐點”;

          定義:(2)設為常數(shù),若定義在上的函數(shù)對于定義域內(nèi)的一切實數(shù),都有成立,則函數(shù)的圖象關于點對稱.

          己知,請回答下列問題:

          (1)求函數(shù)的“拐點”的坐標

          (2)檢驗函數(shù)的圖象是否關于“拐點”對稱,對于任意的三次函數(shù)寫出一個有關“拐點”的結論(不必證明)

          (3)寫出一個三次函數(shù),使得它的“拐點”是(不要過程)

           

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          (09年山東猜題卷)對于三次函數(shù)

          定義:(1)設是函數(shù)的導數(shù)的導數(shù),若方程有實數(shù)解,則稱點為函數(shù)的“拐點”;

          定義:(2)設為常數(shù),若定義在上的函數(shù)對于定義域內(nèi)的一切實數(shù),都有成立,則函數(shù)的圖象關于點對稱。

          己知,請回答下列問題:

          (1)求函數(shù)的“拐點”的坐標

          (2)檢驗函數(shù)的圖象是否關于“拐點”對稱,對于任意的三次函數(shù)寫出一個有關“拐點”的結論(不必證明)

          (3)寫出一個三次函數(shù),使得它的“拐點”是(不要過程)

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          (2010•臺州一模)已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c和“偽二次函數(shù)”g(x)=ax2+bx+clnx(a、b、c∈R,abc≠0),
          (I)證明:只要a<0,無論b取何值,函數(shù)g(x)在定義域內(nèi)不可能總為增函數(shù);
          (Ⅱ)在二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c圖象上任意取不同兩點A(x1,y1),B(x2,y2),線段AB中點的橫坐標為x0,記直線AB的斜率為k,(i)求證:k=f′(x0);(ii)對于“偽二次函數(shù)”g(x)=ax2+bx+clnx,是否有(i)同樣的性質(zhì)?證明你的結論.

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          已知函數(shù)y=x-1,令x=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,可得函數(shù)圖象上的九個點,在這九個點中隨機取出兩個點P1(x1,y1),P2(x2,y2),則P1,P2兩點在同一反比例函數(shù)圖象上的概率是( 。
          A、
          1
          9
          B、
          1
          12
          C、
          1
          18
          D、
          5
          36

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          已知定義在R的函數(shù)f(x)=
          -2x+a2x+1+b
          (a,b為實常數(shù)).
          (Ⅰ)當a=b=1時,證明:f(x)不是奇函數(shù);
          (Ⅱ)設f(x)是奇函數(shù),求a與b的值;
          (Ⅲ)當f(x)是奇函數(shù)時,證明對任何實數(shù)x、c都有f(x)<c2-3c+3成立.

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          1.不改變f(x)值域,即不能縮小原函數(shù)定義域。選項B,C,D均縮小了的定義域,故選A。

          2.先作出f(x,y)=0關于軸對稱的函數(shù)的圖象,即為函數(shù)f(-x,y)=0的圖象,又

          f(2-x,y)=0即為,即由f(-x,y)=0向右平移2個單位。故選C。

          3.命題p為真時,即真數(shù)部分能夠取到大于零的所有實數(shù),故二次函數(shù)的判別式,從而;命題q為真時,。

              若p或q為真命題,p且q為假命題,故p和q中只有一個是真命題,一個是假命題。

              若p為真,q為假時,無解;若p為假,q為真時,結果為1<a<2,故選C.

          4.圖像法解方程,也可代入各區(qū)間的一個數(shù)(特值法或代入法),選C;

          5.函數(shù)f(x)的對稱軸為2,結合其單調(diào)性,選A;

          6.從反面考慮,注意應用特例,選B;

          7.設tan=x (x>0),則+=,解出x=2,再用萬能公式,選A;

          8.利用是關于n的一次函數(shù),設S=S=m,=x,則(,p)、(,q)、

          (x,p+q)在同一直線上,由兩點斜率相等解得x=0,則答案:0;

          9.設cosx=t,t∈[-1,1],則a=t-t-1∈[-,1],所以答案:[-,1];

          10.設高h,由體積解出h=2,答案:24;

          11.設長x,則寬,造價y=4×120+4x×80+×80≥1760,答案:1760。

          12.運用條件知:=2,且

          ==16

          13.依題意可知,從而可知,所以有

          ,又為正整數(shù),取,則

          ,所以,從而,所以,又,所以,因此有最小值為。

          下面可證時,,從而,所以, 又,所以,所以,綜上可得:的最小值為11。

          14.分析:這是有關函數(shù)定義域、值域的問題,題目是逆向給出的,解好本題要運用復合函數(shù),把f(x)分解為u=ax+2x+1和y=lgu 并結合其圖象性質(zhì)求解.

          切實數(shù)x恒成立.   a=0或a<0不合題意,

          解得a>1.

          當a<0時不合題意;    a=0時,u=2x+1,u能取遍一切正實數(shù);

          a>0時,其判別式Δ=22-4×a×1≥0,解得0<a≤1.

          所以當0≤a≤1時f(x)的值域是R

           

          15.分析:此問題由于常見的思維定勢,易把它看成關于x的不等式討論。然而,若變換一個角度以m為變量,即關于m的一次不等式(x-1)m-(2x-1)<0在[-2,2]上恒成立的問題。對此的研究,設f(m)=(x-1)m-(2x-1),則問題轉化為求一次函數(shù)(或常數(shù)函數(shù))f(m)的值在[-2,2]內(nèi)恒為負值時參數(shù)x應該滿足的條件。

          解:問題可變成關于m的一次不等式:(x-1)m-(2x-1)<0在[-2,2] 恒成立,設f(m)=(x-1)m-(2x-1),  則

          解得x∈(,)

          說明 本題的關鍵是變換角度,以參數(shù)m作為自變量而構造函數(shù)式,不等式問題變成函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問題。本題有別于關于x的不等式2x-1>m(x-1)的解集是[-2,2]時求m的值、關于x的不等式2x-1>m(x-1)在[-2,2]上恒成立時求m的范圍。

          一般地,在一個含有多個變量的數(shù)學問題中,確定合適的變量和參數(shù),從而揭示函數(shù)關系,使問題更明朗化;蛘吆袇(shù)的函數(shù)中,將函數(shù)自變量作為參數(shù),而參數(shù)作為函數(shù),更具有靈活性,從而巧妙地解決有關問題。

           

          16.分析: ①問利用公式a與S建立不等式,容易求解d的范圍;②問利用S是n的二次函數(shù),將S中哪一個值最大,變成求二次函數(shù)中n為何值時S取最大值的函數(shù)最值問題。

          解:① 由a=a+2d=12,得到a=12-2d,所以

          S=12a+66d=12(12-2d)+66d=144+42d>0,

          S=13a+78d=13(12-2d)+78d=156+52d<0。

           解得:-<d<-3。

          ② S=na+n(n1-1)d=n(12-2d)+n(n-1)d

          =[n-(5-)]-[(5-)]

          因為d<0,故[n-(5-)]最小時,S最大。由-<d<-3得6<(5-)<6.5,故正整數(shù)n=6時[n-(5-)]最小,所以S最大。

          說明: 數(shù)列的通項公式及前n項和公式實質(zhì)上是定義在自然數(shù)集上的函數(shù),因此可利用函數(shù)思想來分析或用函數(shù)方法來解決數(shù)列問題。也可以利用方程的思想,設出未知的量,建立等式關系即方程,將問題進行算式化,從而簡潔明快。由次可見,利用函數(shù)與方程的思想來解決問題,要求靈活地運用、巧妙的結合,發(fā)展了學生思維品質(zhì)的深刻性、獨創(chuàng)性。

          本題的另一種思路是尋求a>0、a<0 ,即:由d<0知道a>a>…>a,由S=13a<0得a<0,由S=6(a+a)>0得a>0。所以,在S、S、…、S中,S的值最大。

           

          17.分析:異面直線PB和AC的距離可看成求直線PB上任意一點到AC的距離的最小值,從而設定變量,建立目標函數(shù)而求函數(shù)最小值。

            P

                   M
          A        H       B
               D     C

          解:在PB上任取一點M,作MD⊥AC于D,MH⊥AB于H,

          設MH=x,則MH⊥平面ABC,AC⊥HD 。

          ∴MD=x+[(2r-x)sinθ]=(sin+1)x-4rsinθx+4rsinθ=(sinθ+1)[x-]+

          即當x=時,MD取最小值為兩異面直線的距離。

          說明:本題巧在將立體幾何中“異面直線的距離”變成“求異面直線上兩點之間距離的最小值”,并設立合適的變量將問題變成代數(shù)中的“函數(shù)問題”。一般地,對于求最大值、最小值的實際問題,先將文字說明轉化成數(shù)學語言后,再建立數(shù)學模型和函數(shù)關系式,然后利用函數(shù)性質(zhì)、重要不等式和有關知識進行解答。比如再現(xiàn)性題組第8題就是典型的例子。

           

          18.分析:已知了一個積式,考慮能否由其它已知得到一個和式,再用方程思想求解。

          解: 由A、B、C成等差數(shù)列,可得B=60°;

          由△ABC中tanA+tanB+tanC=tanA?tanB?tanC,得

          tanA+tanC=tanB(tanA?tanC-1)= (1+)

          設tanA、tanC是方程x-(+3)x+2+=0的兩根,解得x=1,x=2+

          設A<C,則tanA=1,tanC=2+,   ∴A=,C=

          由此容易得到a=8,b=4,c=4+4。

          說明:本題的解答關鍵是利用“△ABC中tanA+tanB+tanC=tanA?tanB?tanC”這一條性質(zhì)得到tanA+tanC,從而設立方程求出tanA和tanC的值,使問題得到解決。

          19.分析:當x∈(-∞,1]時f(x)=lg有意義的函數(shù)問題,轉化為1+2+4a>0在x∈(-∞,1]上恒成立的不等式問題。

          解:由題設可知,不等式1+2+4a>0在x∈(-∞,1]上恒成立,

          即:()+()+a>0在x∈(-∞,1]上恒成立。

          設t=(),  則t≥,   又設g(t)=t+t+a,其對稱軸為t=-

          ∴ t+t+a=0在[,+∞)上無實根,  即 g()=()++a>0,得a>-

          所以a的取值范圍是a>-。

          說明:對于不等式恒成立,引入新的參數(shù)化簡了不等式后,構造二次函數(shù)利用函數(shù)的圖像和單調(diào)性進行解決問題,其中也聯(lián)系到了方程無解,體現(xiàn)了方程思想和函數(shù)思想。一般地,我們在解題中要抓住二次函數(shù)及圖像、二次不等式、二次方程三者之間的緊密聯(lián)系,將問題進行相互轉化。

          在解決不等式()+()+a>0在x∈(-∞,1]上恒成立的問題時,也可使用“分離參數(shù)法”: 設t=(),  t≥,則有a=-t-t∈(-∞,-],所以a的取值范圍是a>-。其中最后得到a的范圍,是利用了二次函數(shù)在某區(qū)間上值域的研究,也可屬應用“函數(shù)思想”。

           

          20.解:f(x)=cosqsinx-(sinxcosq-cosxsinq)+(tanq-2)sinx-sinq

                 =sinqcosx+(tanq-2)sinx-sinq

          因為f(x)是偶函數(shù),

          所以對任意xÎR,都有f(-x)=f(x),

          即sinqcos(-x)+(tanq-2)sin(-x)-sinq=sinqcosx+(tanq-2)sinx-sinq,

          即(tanq-2)sinx=0,

          所以tanq=2

          解得或

          此時,f(x)=sinq(cosx-1).

          當sinq=時,f(x)=(cosx-1)最大值為0,不合題意最小值為0,舍去;

          當sinq=時,f(x)=(cosx-1)最小值為0,

          當cosx=-1時,f(x)有最大值為,

          自變量x的集合為{x|x=2kp+p,kÎZ}.

           

          21.解:(1);.,
          若上是增函數(shù),則恒成立,即
          若上是減函數(shù),則恒成立,這樣的不存在.
          綜上可得:.

          (2)(證法一)設,由得,于是有,(1)-(2)得:,化簡可得
          ,,,故,即有.

          (證法二)假設,不妨設,由(1)可知在

          上單調(diào)遞增,故,

          這與已知矛盾,故原假設不成立,即有.

           


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