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（本題滿分12分）

 已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為1．∠ADC=60°，等邊△AEF兩邊分別交邊DC、CB于點(diǎn)E、F。

1.（1）特殊發(fā)現(xiàn)：如圖1，若點(diǎn)E、F分別是邊DC、CB的中點(diǎn)．求證：菱形ABCD對(duì)角線AC、BD交點(diǎn)O即為等邊△AEF的外心；

2.（2）若點(diǎn)E、F始終分別在邊DC、CB上移動(dòng)．記等邊△AEF的外心為點(diǎn)P．

①猜想驗(yàn)證：如圖2．猜想△AEF的外心P落在哪一直線上，并加以證明；

②拓展運(yùn)用：如圖3，當(dāng)△AEF面積最小時(shí)，過點(diǎn)P任作一直線分別交邊DA于點(diǎn)M，交邊DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，試判斷是否為定值．若是．請(qǐng)求出該定值；若不是．請(qǐng)說明理由。

（本題滿分8分）已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，以AB為直徑在正方形內(nèi)作半圓，P是半圓上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），連接PA、PB、PC、PD．

    (1)如圖①，當(dāng)PA的長(zhǎng)度等于 

時(shí)，∠PAB＝60°；

              當(dāng)PA的長(zhǎng)度等于    時(shí)，△PAD是等腰三角形；

    (2)如圖②，以AB邊所在直線為x軸、AD邊所在直線為y軸，建立如圖所示的直角

坐標(biāo)系（點(diǎn)A即為原點(diǎn)O），把△PAD、△PAB、△PBC的面積分別記為S₁、S₂、S₃．坐

標(biāo)為（a，b），試求2 S₁ S₃－S₂²的最大值，并求出此時(shí)a，b的值．

（本題滿分12分）
已知直角坐標(biāo)系中菱形ABCD的位置如圖，C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(4,0)，(0,3).現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P,Q分別從A,C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P沿線段AD向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿折線CBA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

【小題1】(1)填空：菱形ABCD的邊長(zhǎng)是  ▲  、面積是 ▲ 、 高BE的長(zhǎng)是 ▲  ；
【小題2】(2)探究下列問題：
若點(diǎn)P的速度為每秒1個(gè)單位，點(diǎn)Q的速度為每秒2個(gè)單位.當(dāng)點(diǎn)Q在線段BA上時(shí)
② △APQ的面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，以及S的最大值；
【小題3】（3）在運(yùn)動(dòng)過程中是否存在某一時(shí)刻使得△APQ為等腰三角形，若存在求出t的值；若不存在說明理由.

（本題滿分8分）已知矩形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,M 、N分別是OD、OC上異于O、C、D的點(diǎn)。
（1）請(qǐng)你在下列條件①DM=CN,②OM=ON,③MN是△OCD的中位線，④MN∥AB中任選一個(gè)添加條件（或添加一個(gè)你認(rèn)為更滿意的其他條件），使四邊形ABNM為等腰梯形，你添加的條件是               。
（2）添加條件后，請(qǐng)證明四邊形ABNM是等腰梯形。