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已知點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，且不在軸上，軸，垂足為，線段中點(diǎn)的軌跡為曲線，過(guò)定點(diǎn)任作一條與軸不垂直的直線，它與曲線交于、兩點(diǎn)。

（I）求曲線的方程；

（II）試證明：在軸上存在定點(diǎn)，使得總能被軸平分

【解析】第一問(wèn)中設(shè)為曲線上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)在圓上，

∴，曲線的方程為

第二問(wèn)中，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為，　　………………3分　 　

代入曲線的方程，可得　

∵，∴

確定結(jié)論直線與曲線總有兩個(gè)公共點(diǎn)．

然后設(shè)點(diǎn),的坐標(biāo)分別, ，則，  

要使被軸平分，只要得到。

（1）設(shè)為曲線上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)在圓上，

∴，曲線的方程為．  ………………2分       

（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為，　　………………3分　 　

代入曲線的方程，可得　，……5分            

∵，∴，

∴直線與曲線總有兩個(gè)公共點(diǎn)．（也可根據(jù)點(diǎn)M在橢圓的內(nèi)部得到此結(jié)論）

………………6分

設(shè)點(diǎn),的坐標(biāo)分別, ，則，   

要使被軸平分，只要，            ………………9分

即，，        ………………10分

也就是，，

即，即只要　 ………………12分　 

當(dāng)時(shí)，（＊）對(duì)任意的s都成立，從而總能被軸平分．

所以在x軸上存在定點(diǎn)，使得總能被軸平分

 

必做題, 本小題10分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．

某商場(chǎng)搞促銷，當(dāng)顧客購(gòu)買(mǎi)商品的金額達(dá)到一定數(shù)量之后可以抽獎(jiǎng)，根據(jù)顧客購(gòu)買(mǎi)商品的金額，從箱中（裝有4只紅球，3只白球，且除顏色外，球的外部特征完全相同）每抽到一只紅球獎(jiǎng)勵(lì)20元的商品（當(dāng)顧客通過(guò)抽獎(jiǎng)的方法確定了獲獎(jiǎng)商品后，即將小球全部放回箱中）

（1）當(dāng)顧客購(gòu)買(mǎi)金額超過(guò)500元而少于1000元（含1000元）時(shí)，可從箱中一次隨機(jī)抽取3個(gè)小紅球，求其中至少有一個(gè)紅球的概率；

（2）當(dāng)顧客購(gòu)買(mǎi)金額超過(guò)1000元時(shí)，可一次隨機(jī)抽取4個(gè)小球，設(shè)他所獲獎(jiǎng)商品的金額為元，求的概率分布列和數(shù)學(xué)期望．

 

必做題, 本小題10分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．

某商場(chǎng)搞促銷，當(dāng)顧客購(gòu)買(mǎi)商品的金額達(dá)到一定數(shù)量之后可以抽獎(jiǎng)，根據(jù)顧客購(gòu)買(mǎi)商品的金額，從箱中（裝有4只紅球，3只白球，且除顏色外，球的外部特征完全相同）每抽到一只紅球獎(jiǎng)勵(lì)20元的商品（當(dāng)顧客通過(guò)抽獎(jiǎng)的方法確定了獲獎(jiǎng)商品后，即將小球全部放回箱中）

（1）當(dāng)顧客購(gòu)買(mǎi)金額超過(guò)500元而少于1000元（含1000元）時(shí)，可從箱中一次隨機(jī)抽取3個(gè)小紅球，求其中至少有一個(gè)紅球的概率；

（2）當(dāng)顧客購(gòu)買(mǎi)金額超過(guò)1000元時(shí)，可一次隨機(jī)抽取4個(gè)小球，設(shè)他所獲獎(jiǎng)商品的金額為元，求的概率分布列和數(shù)學(xué)期望．

 

 

必做題, 本小題10分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．

某商場(chǎng)搞促銷，當(dāng)顧客購(gòu)買(mǎi)商品的金額達(dá)到一定數(shù)量之后可以抽獎(jiǎng)，根據(jù)顧客購(gòu)買(mǎi)商品的金額，從箱中（裝有4只紅球，3只白球，且除顏色外，球的外部特征完全相同）每抽到一只紅球獎(jiǎng)勵(lì)20元的商品（當(dāng)顧客通過(guò)抽獎(jiǎng)的方法確定了獲獎(jiǎng)商品后，即將小球全部放回箱中）

（1）當(dāng)顧客購(gòu)買(mǎi)金額超過(guò)500元而少于1000元（含1000元）時(shí)，可從箱中一次隨機(jī)抽取3個(gè)小紅球，求其中至少有一個(gè)紅球的概率；

（2）當(dāng)顧客購(gòu)買(mǎi)金額超過(guò)1000元時(shí)，可一次隨機(jī)抽取4個(gè)小球，設(shè)他所獲獎(jiǎng)商品的金額為元，求的概率分布列和數(shù)學(xué)期望．

 

必做題, 本小題10分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．

某商場(chǎng)搞促銷，當(dāng)顧客購(gòu)買(mǎi)商品的金額達(dá)到一定數(shù)量之后可以抽獎(jiǎng)，根據(jù)顧客購(gòu)買(mǎi)商品的金額，從箱中（裝有4只紅球，3只白球，且除顏色外，球的外部特征完全相同）每抽到一只紅球獎(jiǎng)勵(lì)20元的商品（當(dāng)顧客通過(guò)抽獎(jiǎng)的方法確定了獲獎(jiǎng)商品后，即將小球全部放回箱中）

（1）當(dāng)顧客購(gòu)買(mǎi)金額超過(guò)500元而少于1000元（含1000元）時(shí)，可從箱中一次隨機(jī)抽取3個(gè)小紅球，求其中至少有一個(gè)紅球的概率；

（2）當(dāng)顧客購(gòu)買(mǎi)金額超過(guò)1000元時(shí)，可一次隨機(jī)抽取4個(gè)小球，設(shè)他所獲獎(jiǎng)商品的金額為元，求的概率分布列和數(shù)學(xué)期望．