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（本題滿分12分）

    為考察某種甲型H1N1疫苗的效果，進行動物實驗，得到如下疫苗效果的實驗列聯(lián)表：

	感染	未感染	總計
沒服用	20	30	50
服用	x	y	50
總計	M	N	100

    設(shè)從沒服用疫苗的動物中任取兩只，感染數(shù)為從服從過疫苗的動物中任取兩只，感染數(shù)為工作人員曾計算過

   （1）求出列聯(lián)表中數(shù)據(jù)的值；

   （2）寫出的均值（不要求計算過程），并比較大小，請解釋所得出的結(jié)論的實際意義；

   （3）能夠以97.5%的把握認(rèn)為這種甲型H1N1疫苗有效么？并說明理由。

        參考公式：

        參考數(shù)據(jù)：

	0．05	0．025	0．010
	3．841	5．024	6．635

 

 

山東省《體育高考方案》于2012年2月份公布，方案要求以學(xué)校為單位進行體育測試，某校對高三1班同學(xué)按照高考測試項目按百分制進行了預(yù)備測試，并對50分以上的成績進行統(tǒng)計，其頻率分布直方圖如圖所示，若90~100分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為2人.

（Ⅰ）請估計一下這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)M；

（Ⅱ）現(xiàn)根據(jù)初賽成績從第一組和第五組（從低分段到高分段依次為第一組、第二組、…、第五組）中任意選出兩人，形成一個小組.若選出的兩人成績差大于20，則稱這兩人為“幫扶組”，試求選出的兩人為“幫扶組”的概率.

【解析】本試題主要考查了概率的運算和統(tǒng)計圖的運用。

（1）由由頻率分布直方圖可知:50~60分的頻率為0.1, 60~70分的頻率為0.25, 70~80分的頻率為0.45, 80~90分的頻率為0.15, 90~100分的頻率為0.05，然后利用平均值公式，可知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)M=55×0.1+65×0.25+75×0.45+85×0.15+95×0.05=73(分)

（2）中利用90~100分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為2人，頻率為0.05；得到總參賽人數(shù)為40，然后得到0~60分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為40×0.1=4人，第五組中有2人，這樣可以得到基本事件空間為15種，然后利用其中兩人成績差大于20的選法有：（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₃，B₁），（A₃，B₂），（A₄，B₁），（A₄，B₂）共8種，得到概率值

解：(Ⅰ)由頻率分布直方圖可知:50~60分的頻率為0.1, 60~70分的頻率為0.25, 70~80分的頻率為0.45, 80~90分的頻率為0.15, 90~100分的頻率為0.05； ……………2分

∴這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)M=55×0.1+65×0.25+75×0.45+85×0.15+95×0.05=73(分)…4分

(Ⅱ)∵90~100分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為2人，頻率為0.05；

∴參加測試的總?cè)藬?shù)為=40人，……………………………………5分

∴50~60分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為40×0.1=4人， …………………………6分

設(shè)第一組50~60分?jǐn)?shù)段的同學(xué)為A₁，A₂，A₃，A₄；第五組90~100分?jǐn)?shù)段的同學(xué)為B₁，B₂

則從中選出兩人的選法有：（A₁，A₂），（A₁，A₃），（A₁，A₄），（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，A₃），（A₂，A₄），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₃，A₄），（A₃，B₁），（A₃，B₂），（A₄，B₁），（A₄，B₂），（B₁，B₂），共15種；其中兩人成績差大于20的選法有：（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₃，B₁），（A₃，B₂），（A₄，B₁），（A₄，B₂）共8種 …………………………11分

則選出的兩人為“幫扶組”的概率為

 

在中，是三角形的三內(nèi)角，是三內(nèi)角對應(yīng)的三邊，已知成等差數(shù)列，成等比數(shù)列

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若，求的值.

【解析】第一問中利用依題意且，故

第二問中，由題意又由余弦定理知

，得到，所以，從而得到結(jié)論。

（1）依題意且，故……………………6分

（2）由題意又由余弦定理知

…………………………9分

即   故

           代入得

 

已知遞增等差數(shù)列滿足：，且成等比數(shù)列．

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）若不等式對任意恒成立，試猜想出實數(shù)的最小值，并證明．

【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項公式的運用以及數(shù)列求和的運用。第一問中，利用設(shè)數(shù)列公差為，

由題意可知，即，解得d，得到通項公式，第二問中，不等式等價于，利用當(dāng)時，；當(dāng)時，；而，所以猜想，的最小值為然后加以證明即可。

解：（1）設(shè)數(shù)列公差為，由題意可知，即，

解得或（舍去）．      …………3分

所以，．        …………6分

（2）不等式等價于，

當(dāng)時，；當(dāng)時，；

而，所以猜想，的最小值為．     …………8分

下證不等式對任意恒成立．

方法一：數(shù)學(xué)歸納法．

當(dāng)時，，成立．

假設(shè)當(dāng)時，不等式成立，

當(dāng)時，， …………10分

只要證  ，只要證  ，

只要證  ，只要證  ，

只要證  ，顯然成立．所以，對任意，不等式恒成立．…14分

方法二：單調(diào)性證明．

要證 

只要證  ，  

設(shè)數(shù)列的通項公式，        …………10分

，    …………12分

所以對，都有，可知數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列．

而，所以恒成立，

故的最小值為．

 

已知冪函數(shù)滿足。

（1）求實數(shù)k的值，并寫出相應(yīng)的函數(shù)的解析式；

（2）對于（1）中的函數(shù)，試判斷是否存在正數(shù)m，使函數(shù)，在區(qū)間上的最大值為5。若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由。

【解析】本試題主要考查了函數(shù)的解析式的求解和函數(shù)的最值的運用。第一問中利用，冪函數(shù)滿足，得到

因為，所以k=0，或k=1，故解析式為

（2）由（1）知，，，因此拋物線開口向下，對稱軸方程為：，結(jié)合二次函數(shù)的對稱軸，和開口求解最大值為5.，得到

（1）對于冪函數(shù)滿足，

因此，解得，………………3分

因為，所以k=0，或k=1，當(dāng)k=0時，，

當(dāng)k=1時，，綜上所述，k的值為0或1，�！�……………6分

（2）函數(shù)，………………7分

由此要求，因此拋物線開口向下，對稱軸方程為：，

當(dāng)時，，因為在區(qū)間上的最大值為5，

所以，或…………………………………………10分

解得滿足題意