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已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F₁、F₂，短軸兩個端點為A、B，且四邊形F₁AF₂B是邊長為2的正方形．
（1）求橢圓的方程；
（2）若C、D分別是橢圓長的左、右端點，動點M滿足MD⊥CD，連接CM，交橢圓于點P．證明：

OM

•

OP

為定值．
（3）在（2）的條件下，試問x軸上是否存異于點C的定點Q，使得以MP為直徑的圓恒過直線DP、MQ的交點，若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

已知長方形的四個頂點A（0，0）、B（2，0）、C（2，1）和D（0，1），一質(zhì)點從AB的中點P₀沿與AB夾角為θ的方向射到BC上的點P₁后，依次反射到CD、DA和AB上的點P₂、P₃和P₄（入射角等于反射角）．設(shè)P₄的坐標為（x₄，0）．若1＜x₄＜2，求tanθ的取值范圍．

已知直線l的方程為x=-2，且直線l與x軸交于點M，
圓O：x²+y²=1與x軸交于A，B兩點．
（Ⅰ）過M點的直線l₁交圓于P、Q兩點，且圓孤PQ恰為圓周的

1

4

，求直線l₁的方程；
（Ⅱ）求以l為準線，中心在原點，且與圓O恰有兩個公共點的橢圓方程；
（Ⅲ）過M點的圓的切線l₂交（Ⅱ）中的一個橢圓于C、D兩點，其中C、D兩點在x軸上方，求線段CD的長．