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通過對大學生手機消費情況的調查，探討影響當代大學生購買手機決策的因素.研究者通過隨機抽樣對北師大、北大兩地共150名被測試者進行了調查，其中男生占45.2%，女生占54.8%.請自愿的被測試者填寫自制手機調查問卷（本問卷主要涵蓋三方面內容：手機本身因素，服務及購買物理環(huán)境因素，廣告及品牌效應因素.題目共16道，并隨機排序，其中無關題1道）.同時，研究人員還在區(qū)內各大手機專賣店收集相關資料.本研究一共發(fā)放問卷150份，有效回收率為90%.對問卷原始數據大致歸類后，再對部分題目進行分析.

在手機本身特點上被測試者選擇結果（見表一）

表一  被測試者對手機質量的選擇

在品牌、廣告問題上被試關注（結果見表二）

表二  被測試者對廣告中認為最可信的因素的選擇結果

被測試者對最有效的品牌公司形象塑造的策略的選擇對以上所搜集的數據以表格或圖表分類，在此研究基礎上試表述對所搜集的數據處理的結果.并分析潛在因素對大學生購買決策的影響，試從心理特點加以闡釋.

已知函數的圖象過坐標原點O,且在點處的切線的斜率是.

（Ⅰ）求實數的值； 

（Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值；

（Ⅲ）對任意給定的正實數，曲線上是否存在兩點P、Q，使得是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上？說明理由.

【解析】第一問當時，，則。

依題意得：，即    解得

第二問當時，，令得，結合導數和函數之間的關系得到單調性的判定，得到極值和最值

第三問假設曲線上存在兩點P、Q滿足題設要求，則點P、Q只能在軸兩側。

不妨設，則，顯然

∵是以O為直角頂點的直角三角形，∴

即    （*）若方程（*）有解，存在滿足題設要求的兩點P、Q；

若方程（*）無解，不存在滿足題設要求的兩點P、Q.

（Ⅰ）當時，，則。

依題意得：，即    解得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

①當時，，令得

當變化時，的變化情況如下表：

又，，。∴在上的最大值為2.

②當時, .當時, ,最大值為0；

當時, 在上單調遞增�！�在最大值為。

綜上，當時，即時，在區(qū)間上的最大值為2；

當時，即時，在區(qū)間上的最大值為。

（Ⅲ）假設曲線上存在兩點P、Q滿足題設要求，則點P、Q只能在軸兩側。

不妨設，則，顯然

∵是以O為直角頂點的直角三角形，∴

即    （*）若方程（*）有解，存在滿足題設要求的兩點P、Q；

若方程（*）無解，不存在滿足題設要求的兩點P、Q.

若，則代入（*）式得：

即，而此方程無解，因此。此時，

代入（*）式得：    即   （**）

令 ，則

∴在上單調遞增，  ∵     ∴,∴的取值范圍是。

∴對于，方程（**）總有解，即方程（*）總有解。

因此，對任意給定的正實數，曲線上存在兩點P、Q，使得是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上